В предыдущей статье мы рассмотрели структурные схемы, а также характеристики цифровых фильтров при известной передаточной функции . Однако мы не говорили о том, как рассчитать саму . В данной статье мы рассмотрим основной на сегодняшний день метод расчета передаточной характеристики цифрового фильтра на основе передаточной характеристики аналогового фильтра - метод билинейного преобразования. Мы уже говорили о том, что переход от передаточной характеристики аналогового фильтра к цифрового фильтра можно осуществить переходом , где - период дискретизации сигнала. Но осуществлять экспоненциальное отображение плоскости s в плоскость z крайне не удобно, поскольку нам бы хотелось иметь дробно-рациональную подстановку, которую мы умеем вычислять. Поэтому на практике для перехода от аналогового фильтра к цифровому используют билинейное преобразование.

Билинейное преобразование осуществляется подстановкой вида:

Также данную подстановку можно инвертировать:

Рассмотрим некоторые свойства билинейного преобразования.

Если , то .

Если - чисто вещественно, то причем при модуль , а при модуль

Если - чисто мнимо, то получаем отношение комплексно-сопряженных чисел, модуль которого всегда равен единице, т.е. .

Если , то при имеем , а при получим .

Таким образом сделаем вывод. При билинейном преобразовании мнимая ось плоскости s переходит в единичную окружность на плоскости z, причем левая полуплоскость плоскости s отображается внутрь единичной окружности плоскости z, а правая полуплоскость плоскости s отображается вне единичной окружности. Отображение плоскости s в плоскость z при билинейном преобразовании показано на рисунке 1.

Данное отображение очень похоже на то, что мы приводили, когда рассматривали переход от комплексной s-плоскости в комплексную z-плоскость (подробнее здесь). Такая схожесть обуславливается тем, что выражение (2) представляет собой разложение в ряд Тейлора при ограничении степени ряда равной единицы. Действительно, разложение в ряд Тейлора экспоненты равно:

Тогда можно представить:

Таким образом, билинейное преобразование позволяет осуществить переход из s плоскости в z-плоскость при помощи дробно-рациональной подстановки. Поскольку в числителе и знаменателе этой подстановки полиномы только первой степени, то при переходе от передаточной характеристики аналогового фильтра к цифровому фильтру с передаточной характеристикой , максимальная степень полиномов числителя и знаменателя не изменится, а значит не измениться и порядок фильтра.

Комплексный коэффициент передачи аналогового фильтра при использовании билинейного преобразования переходит в комплексный коэффициент передачи дискретного фильтра. При этом мы знаем, что - функция периодическая, а - апериодическая. Обозначим как циклическую частоту аналогового фильтра, чтобы отличить ее от циклической частоты частотной характеристики цифрового фильтра. Тогда комплексный коэффициент передачи аналогового фильтра обозначим как . Подставим теперь в выражение билинейного преобразования (1) и и получим:

Откуда следует, что

Выражение (6) задает частотное отображение при билинейном преобразовании. Графически отображение частот при билинейном преобразовании показано на рисунке 2 при .

Рассмотрим данный громоздкий рисунок 2. На верхнем левом графике показана АЧХ аналогового нормированного ФНЧ. На левом нижнем графике показано частотное отображение , соответствующее (6) при . Обратим внимание что тангенс - периодическая функция, и частотная характеристика фильтра будет многократно периодически повторена с периодом рад/с. Правый верхний график показывает проекцию АЧХ, обеспечивающий заданный уровень боковых лепестков. И наконец, на нижнем правом графике показана АЧХ цифрового фильтра, полученного при помощи билинейного преобразования из аналогового ФНЧ. Желтым выделен один период АЧХ цифрового фильтра.

Отметим некоторые соотношения частот при проекции. Нулевая частота проецируется в частоту . Она же проецируется бесконечное количество раз через . Частота проецируется на частоту . Таким образом, диапазон частотной характеристики аналогового фильтра от 0 до 1 рад/с полностью размещается внутри диапазона от 0 до цифрового фильтра, а частотная характеристика от 1 до рад/с аналогового фильтра проецируется в диапазон от до цифрового фильтра. После через все повторяется.

Сделаем еще одно важное замечание. Поскольку функция , то можно сделать вывод о том что , другими словами частотная характеристика аналогового фильтра при из отрицательной области частот, в силу периодичности тангенса, переносится в область частот от до цифрового фильтра. Поскольку АЧХ аналогового фильтра с передаточной характеристикой всегда симметрична относительно нулевой частоты, т.е. при вещественных коэффициентах передаточной характеристики , то АЧХ цифрового фильтра, полученного путем билинейного преобразования из аналогового фильтра прототипа будет симметрична относительно частоты

Пояснения к отображению комплексной плоскости s в комплексную плоскость z

Ранее мы говорили о том, что переход из комплексной плоскости s в комплексную плоскость z существляется однозначным отображением . При этом всем нулям и полюсам фильтра в s плоскости соответствуют нули и полюса в z плоскости при фиксированном . Однако при билинейном преобразовании все нули и полюса отображаются согласно (4), при этом очевидно, что используя отображение и билинейное преобразование мы получим различные отображения одних и тех же нулей и полюсов из плоскости s в плоскость z. Именно эту разницу мы и проанализируем в данном разделе. Наиболее просто понять разницу отображения и билинейного преобразования на конкретном примере. Пусть имеется передаточная характеристика фильтра

Данный фильтр имеет единственный полюс . Пусть интервал дискретизации . Найдем отображение :

Отображение через билинейное преобразование дает полюс

Таким образом билинейное преобразование и отображение дают различные отображения полюса из плоскости s в плоскость z, а значит мы получаем различные передаточные характеристики фильтра.

На рисунке 3 показаны АЧХ фильтров при различном отображении полюса.

На верхнем графике показана АЧХ полученная при отображении полюса согласно . Красным показана АЧХ исходного аналогового фильтра (деление на позволяет отнормировать период дискретизации). Синим показаны периодические повторения АЧХ , . Результирующая АЧХ полученная при отображении показана черным представляет собой сумму всех периодических составляющих. Таким образом, можно сделать вывод что переход от аналогового фильтра к цифровому при отображении приводит к наложению «хвостов» АЧХ аналогового фильтра.

На втором графике показана АЧХ полученная в результате билинейного преобразования. Как уже было сказано выше при билинейном преобразовании ось частот трансформируется согласно (6), при этом все «хвосты» аналогового фильтра укладываются в интервал , то есть на каждом периоде повторения АЧХ идет «стык в стык» без наложения «хвостов». Это принципиальное отличие билинейного преобразования от отображения . Таким образом переход от аналогового фильтра к цифровому целесообразнее производить через билинейное преобразование, так как оно избавлено от эффектов наложения в отличии от отображения .

Таким образом, можно сделать вывод о том, что билинейное преобразование нелинейно искажает и «периодизирует» шкалу частот, но не меняет уровня неравномерности в полосе пропускания и уровня боковых лепестков фильтра. Последнее замечание крайне важно, так как позволяет нам использовать рассчитанные передаточные характеристики аналоговых фильтров для расчета цифровых фильтров.

Рассмотренные отличия билинейного преобразования и отображения позволяют сделать вывод о том, что применение билинейного преобразования позволяет избавится от эффектов наложения при переходе от аналогового фильтра к цифровому.

Любые вопросы и пожелания вы можете оставить в гостевой книге, на форуме, или прислать по электронной почте admin@dsplib.ru

Наверх        Вернуться к списку статей