Ранее мы
рассмотрели разностные уравнения
цифровых фильтров в виде:
(1)
где
- отсчеты на выходе фильтра,
- входные отсчеты,
и
- коэффициенты числителя
и знаменателя передаточной характеристики
фильтра соответственно. Также мы говорили
о том, что если все коэффициенты
кроме
равны нулю, то такой фильтр называется
КИХ-фильтром, а если хотя бы один
коэффициент
помимо
отличен от нуля, то такой фильтр называется
БИХ-фильтр.
В данной статье
мы рассмотрим структурные схемы цифровых
фильтров и их характеристики.
Основные обозначения
Согласно выражению
(1), сигнал на выходе фильтра зависит от
задержанного входного сигнала, а также
от предыдущих отсчетов на выходе, поэтому
для реализации фильтра нам потребуются
линии задержки. Вспомним, что согласно
z-преобразованию, задержка
на один отсчет соответствует умножению
образа на
.
Также нам потребуются умножители на
постоянные коэффициенты
и
и сумматоры. На рисунке 1 показаны
обозначения основных блоков для
построения цифрового фильтра.
Рисунок 1: Обозначения блоков цифрового фильтра
На рисунке 1 а)
обозначена линия задержки, 1 б) умножитель
на константу, 1 в) сумматор и 1 г)
разветвление.
Структурная схема КИХ-фильтра
Разностное
уравнение КИХ фильтра не содержит
рекурсивной части:
(2)
Выражение (2)
получается из выражения (1) при
и
.
Структурная
схема нерекурсивного КИХ-фильтра
показана на рисунке 2.
КИХ
фильтр порядка
содержит
линий задержки и
коэффициент. Если коэффициент
,
то получим КИХ фильтр порядка
у которого умножение на
будет тривиальным. Импульсная
характеристика КИХ-фильтра всегда
конечна и полностью совпадает с
коэффициентами фильтра.
Структурные схемы БИХ-фильтра. Прямая и каноническая формы БИХ-фильтра
При построении
БИХ-фильтра перепишем уравнение (1) к
виду:
(3)
В
выражении (3) можно выделить нерекурсивную
составляющую
и рекурсивную
.
Тогда БИХ-фильтр можно
представить как сумму нерекурсивной и
рекурсивной составляющих, как это
показано на рисунке 3.
Рисунок 3: Прямая форма БИХ-фильтра
Такое представление
БИХ-фильтра называют прямой формой
реализации. Обратим внимание, что
количество линий задержек БИХ-фильтра
равно
,
что больше чем количество линий задержек
КИХ-фильтра того же порядка (напомним,
что порядок БИХ-фильтра равен максимальной
степени полинома числителя или знаменателя
передаточной характеристики фильтра).
При этом также обратим внимание, что
БИХ фильтр представляет собой каскадное
соединение нерекурсивной и рекурсивной
частей, которые можно поменять местами.
Тогда получим структуру, показанную на
рисунке 4.
Рисунок 4: Перестановка нерекурсивной и рекурсивной составляющих БИХ-фильтра
Объединив линии
задержки в структуре, показанной на
рисунке 4, получим каноническую форму
БИХ-фильтра, представленную на рисунке
5.
Рисунок 5: Каноническая форма БИХ-фильтра
В канонической
форме БИХ-фильтра количество линий
задержек всегда равно порядку фильтра.
Характеристики цифровых фильтров
Ранее мы уже
говорили, что цифровой фильтр задается
свой передаточной характеристикой
,
которая представляет отношение z-образов
выходного сигнала ко
входному
:
(4)
При
этом мы уже знаем, что z-преобразование
мы получили путем отображения комплексной
s-плоскости
вида
где
- период
дискретизации исходного сигнала и
импульсной характеристики фильтра. Без
потери общности можно принять
,
тогда
Тогда подставив в передаточную
характеристику дискретного фильтра
(4)
,
мы получим передаточную характеристику
фильтра по Лапласу, из которой можно
получить комплексный коэффициент передачи
дискретного фильтра путем подстановки
.
Таким образом, комплексный
коэффициент передачи цифрового фильтра
обозначается как
и
равен:
(5)
Амплитудно-частотная
характеристика (АЧХ) цифрового фильтра
может быть получена как модуль
,
а фазочастотная (ФЧХ) как аргумент:
(6)
Также вводят
понятие групповой задержки как производной
от ФЧХ:
(7)
Обратите внимание,
что АЧХ и ФЧХ и групповая задержка
цифрового фильтра есть непрерывные
функции частоты. При этом согласно (5)
периодическая функция с периодом
,
так как
.
Последнее равенство не вызывает сомнений,
если подставить его в выражение (5). Таким
образом, характеристику цифрового
фильтра достаточно проанализировать
на интервале
.
Цифровой фильтр
также определяется своей импульсной
характеристикой, преобразование Фурье
от которой дает комплексный коэффициент
передачи. Если комплексный коэффициент
передачи — периодическая функция
частоты, то импульсная характеристика
дискретного фильтра определяется как
разложение в ряд Фурье
:
.
(8)
Рассчитывать
импульсную характеристику через интеграл
не совсем удобно, кроме того количество
отсчетов импульсной характеристики
БИХ-фильтра бесконечно, и все их рассчитать
невозможно. Однако, если фильтр устойчивый,
то
убывает, с увеличением
,
и можно рассчитать заданное количество
отсчетов импульсной характеристики
фильтра при помощи быстрого преобразования
Фурье (FFT).
Пусть требуется
рассчитать
первых отсчетов импульсной характеристики
фильтра, заданного передаточной
характеристикой
Первое,
что мы должны сделать — рассчитать
комплексный коэффициент передачи
заданного фильтра. Для численного
расчета необходимо задать сетку частот
.
Тогда на данной сетке частот рассчитаем
комплексный коэффициент передачи
,
таким образом, получим
отсчетов комплексного коэффициента
передачи фильтра. После этого можно
рассчитать импульсную характеристику
как
,
где
- оператор
обратного быстрого преобразования
Фурье. Таким образом, мы рассчитали
характеристики фильтра с заданной
передаточной характеристикой. Данный
путь расчета приводил к комплексному
коэффициенту передачи в частотной
области, с последующим преобразованием
во временную.
На рисунках 6 и
7 показаны рассчитанные характеристики
фильтра при
и
.
(9)
Рисунок 6: Импульсная характеристика фильтра
Рисунок 7: Один период АЧХ и ФЧХ фильтра
Обратите
внимание, что на рисунке 7
по оси абсцисс показана частота
,
таким образом, АЧХ и ФЧХ представлена
для нормированных частот от 0 до 2. Кроме
того, можно заметить, что
АЧХ фильтра
является симметричной относительно
частоты
,
или
,
т.е.
,
а ФЧХ является антисимметричной, т.е.
.
Рассмотрим
теперь другой способ расчета характеристик
фильтра — расчет во временной области.
Для этого приведем структурную схему
фильтра, заданного передаточной
характеристикой (9) (рисунок 8).
Рисунок 8: Структурная схема фильтра
Для того, чтобы
получить импульсную характеристику
цифрового фильтра, необходимо подать
на вход сигнал
:
(10)
Тогда на выходе
фильтра будет импульсная характеристика.
Рассчитаем импульсную характеристику
на выходе фильтра по его структуре.
Пусть на входе
нулевой отсчет
,
тогда точка «а» равна 1, «б» и «в» равна
нулю, тогда на выходе
.
При поступлении на вход отсчета
получим точка «б» равна 1 (задержанная
точка «a»), точка «в» равна
0.7 и точка «а» при
равна 0.7, тогда
.
При
имеем:
,
точка «б» равна 0.7, тогда точка «в» равна
,
точка «а» равна 0.49 и
.
Так можно продолжать до бесконечности.
Ограничившись как и в предыдущем случае
отсчетами импульсной характеристики
получим
полностью совпадающую с приведенной
на рисунке выше. Тогда комплексный
коэффициент передачи фильтра можно
получить если взять БПФ от импульсной
характеристики
.
Оба приведенных
способа расчета характеристик фильтра
имеют приблизительно одну вычислительную
сложность и какой из них выбрать решать
пользователю.
Выводы
Таким образом,
мы привели структурные схемы цифровых
КИХ и БИХ фильтров и привели их
характеристики. Была представлена
структура КИХ фильтра, а также прямая
и каноническая формы БИХ фильтров.
Рассмотрены характеристики цифровых
фильтров: комплексный коэффициент
передачи, АЧХ, ФЧХ, групповая задержка
и импульсная характеристика фильтра.
Приведены способы численного расчета
характеристик фильтра по его передаточной
функции в частотной и во временной
областях.
Любые вопросы и пожелания вы можете оставить в
гостевой книге, на форуме,
или прислать по электронной почте admin@dsplib.ru