Контур фазовой автоподстройки частоты и его основные свойства

Содержание

Введение
При передаче цифровой информации особое внимание уделяется вопросам синхронизации. В частности при использовании PSK сигналов требуется производить различение передаваемых символов по фазе. Но опорные генераторы на передающей и приемной стороне не могут быть когерентны, поэтому прибегают с следящим контурам (петлям), позволяющим производить подстройку генераторов опорных сигналов для когерентной демодуляции. Такие следящие системы называют контурами фазовой автоподстройки частоты ФАПЧ (phase-locked loop PLL). О них пойдет речь в данной статье. Разумеется в одной статье невозможно изложить все что касается теории следящих систем, поэтому за более подробной информацией рекомендую обратиться к работам [G2] и [N1].

Структурная схема контура фазовой автоподстройки частоты
Структурная схема контура фазовой автоподстройки частоты (ФАПЧ) показана на рисунке 1.


Рисунок 1: Структурная схема контура ФАПЧ

В состав контура входит фазовый детектор, представляющий собой умножитель с коэффициентом усиления , петлевой фильтр (в англоязычной литературе loop filter) , который формирует управляющее напряжение (или сигнал ошибки) и генератор управляемый напряжением (ГУН). Прежде чем переходить к рассмотрению принципов функционирования контура поясним как работает ГУН.
Генератор управляемый напряжением (ГУН) и его свойства
Следящий контур фазовой автоподстройки частоты должен постоянно вести сопровождение входного сигнала по фазе. Соответственно, генератор, входящий в состав контура должен «уметь» перестраиваться по фазе. Для этого разработаны генераторы управляемые напряжением (ГУН), или в англоязычной литературе voltage-controlled oscillator (VCO), мгновенная частота сигнала на выходе которых зависит от управляющего напряжения как это показано на рисунке 2.


Рисунок 2: Генератор управляемый напряжением

На входе генератора управляющее напряжение (сигнал ошибки) , а на выходе сигнал, полная фаза которого равна (все что под косинусом)
(1)
Тогда мгновенная частота на выходе генератора представляет собой производную от полной фазы и пропорциональна текущему управляющему напряжению , – коэффициент пропорциональности. На рисунке показан пример зависимости мгновенной частоты на выходе ГУН от управляющего напряжения


Рисунок 3: Мгновенная частота на выходе ГУН

Анализ структурной схемы контура ФАПЧ
Рассмотрим теперь структурную схему показанную на рисунке 1. Для упрощения введем следующее обозначение:
(2)
тогда сигнал на выходе ГУН равен , а сигнал на выходе фазового детектора:
(3)
Сигнал на выходе фазового детектора представляет собой сумму сигнала на удвоенной частоте и сигнала зависящего от разности фаз входного сигнала и ГУН. Петлевой фильтр представляет собой ФНЧ, который подавляет сигнал на удвоенной частоте, тогда на выходе петлевого фильтра получим управляющий сигнал :
(4)
Управляющий сигнал на выходе петлевого фильтра пропорционален синусу разности фаз принятого и опорного сигналов.

Статические и астатические ошибки при работе контура ФАПЧ. Порядок астатизма
В литературе по радиоавтоматике ошибки принято разделять на статические и астатические. Что такое статическая и астатическая ошибка? Ошибка называется статической, если в режиме слежения сигнал ошибки постоянный и отличен от нуля, и называется астатической если . Поясним это на примере.
Пусть петлевой фильтр отсутствует, тогда сигнал на выходе фазового детектора есть сигнал ошибки . В установившемся режиме сопровождения полные фазы принятого сигнала и сигнала на выходе ГУН полностью совпадают, тогда можно записать:
(5)
Пусть фаза , т. е. принятый и опорный сигналы различны по фазе, но их частоты совпадают, тогда уравнение (5) принимает вид:
(6)
Продифференцировав обе части выражения (6) относительно времени можно выразить сигнал ошибки в установившемся режиме:
(7)
Если ГУН управляется непосредственно сигналом с фазового детектора, то при рассогласовании по фазе входного сигнала и опорного сигнала мы получим астатическую ошибку. Теперь рассмотрим как поведет себя эта система, если сигналы отличны не только по фазе но и по частоте, т. е. где – частотное рассогласование. Уравнение (5) в этом случае принимает вид:
(8)
продифференцировав которое мы получим
(9)
Таким образом при частотном рассогласовании мы получим статическую ошибку. И это понятно, фазовый детектор показывает текущее фазовое рассогласование, при этом ГУН его компенсирует, но в следующий момент времени оно снова возникает из-за частотного набега фазы и снова фазовый детектор его фиксирует. В этом случае ГУН постоянно «накручивает» свою фазу, пытаясь скомпенсировать тот фазовый набег, который возник в результате частотного рассогласования. При статической ошибке контур все еще в состоянии вести слежение за сигналом.
Продолжая рассмотрение данного примера можно ввести квадратичный член в , который будет характеризовать изменение частоты во времени. В этом случае ошибка будет линейно зависеть от времени и контур не сможет отслеживать такой сигнал.
В приведенном примере астатическая ошибка была только в случае постоянного рассогласования. В этом случае говорят об астатизме первого порядка. Если контур ФАПЧ обеспечивает астатическую ошибку при фазовом и частотном рассогласовании, то говорят, что контур имеет второй порядок астатизма. В этом случае контур ФАПЧ отслеживает сигнал и при изменении его частоты во времени, т. е. при квадратичном члене в .
На практике контур ФАПЧ должен отслеживать не только постоянное фазовое рассогласование, но и частотное рассогласование, которое может медленно меняться во времени. Таким образом нам необходим контур с порядком астатизма равный двум.
Сделаем замечания.
Замечание 1. Порядок астатизма контура ФАПЧ полностью определяется порядком передаточной характеристики контура (речь об этом пойдет ниже). Для обеспечении контура второго порядка астатизма необходимо, чтобы петлевой фильтр был первого порядка.
Замечание 2. У читателя может сложится впечатление, что увеличивая порядок астатизма можно легко получить следящие системы, которые будут отслеживать высокодинамичные изменения. На практике это не совсем так. Дело в том, что наш контур – контур с обратной связью, который должен быть проверен на устойчивость. При этом гарантировать устойчивость контура с порядком астатизма выше второго аналитически возможно только в частных случаях. Поэтому контуры с порядком астатизма выше второго используются только в исключительных случаях, а их построение - нетривиальная задача.

Линеаризованная модель контура ФАПЧ
Построим модель контура ФАПЧ, а также рассмотрим его передаточную характеристику . Для начала вспомним, что ГУН интегрирует сигнал ошибки , согласно (2), значит его передаточная характеристика равна , вместе с тем сам сигнал ошибки выражается как синус разности фаз согласно (4). Тогда можно представить модель контура ФАПЧ как это показано на рисунке 4.


Рисунок 4: Модель контура ФАПЧ

В модель на рисунке 4 входит нелинейный элемент вычисляющий синус разности фаз принятого и опорного колебания, что существенно затрудняет аналитический анализ передаточной характеристики контура ФАПЧ. Однако можно обратить внимание, что в установившемся режиме слежения за фазой когда стремится сравняться с , их разность стремится к нулю, т.е. , тогда , причем коэффициент 1/2 может быть учтен в коэффициенте передаточной функции ГУН. Таким образом в установившемся режиме, нелинейный элемент может быть исключен, и модель контура ФАПЧ показана на рисунке 5.


Рисунок 5: Линеаризованная модель контура ФАПЧ

Обозначим как и образы по Лапласу и соответственно, тогда можно записать следующее операторное уравнение линеаризованного контура ФАПЧ:
(10)
Раскроем скобки:
(11)
откуда можно выразить передаточную характеристику контура ФАПЧ:
(12)
До текущего момента мы не обсуждали свойства передаточной характеристики петлевого фильтра , однако мы говорили, что нам требуется порядок астатизма контура равный двум, а значит должна содержать полиномы второй степени. Таким образом должна иметь первый порядок. Зададим в виде:
(13)
где и – пропорциональный и интегральный коэффициенты. Сигнал ошибки в этом случае можно выразить, если вспомнить, что в операторном виде соответствует интегратору, тогда:
(14)
Подставив (13) в (12) получим передаточную характеристику линеаризованного контура ФАПЧ:
(15)
Для упрощения введем следующие обозначения:
(16)
тогда
(17)
Получили, что линеаризованный контур ФАПЧ представляет собой фильтр второго порядка с резонансной частотой и коэффициентом затухания (демпинг фактором damping factor)
Комплексный коэффициент передачи линеаризованного контура ФАПЧ равен:
(18)
АЧХ линеаризованного контура ФАПЧ равна:
(19)
Рассмотрим основные частотные соотношения в линеаризованном контуре ФАПЧ.
При АЧХ линеаризованного контура ФАПЧ равна .
При получим:
(20)
На резонансной частоте АЧХ линеаризованного контура ФАПЧ всегда больше единицы, причем при устремлении к нулю стремится к бесконечности.
При получим:
(21)
Таким образом АЧХ контура ФАПЧ убывает как (20 дБ/декада).
Рассмотрим частоту при которых . Для этого необходимо решить уравнение (19) при относительно частоты . Возводя в квадрат и перенося знаменатель в левую часть получим:
(22)
Раскрывая скобки и приводя подобные получим:
(23)
Основные частотные соотношения АЧХ линеаризованного контура ФАПЧ показаны на рисунке 6.


Рисунок 6: Основные частотные соотношения АЧХ линеаризованного контура ФАПЧ

На рисунке 7 показаны логарифмические АЧХ
(24)
и ФЧХ линеаризованного контура ФАПЧ, от частоты, нормированной к резонансной частоте при различных параметрах .


Для просмотра SVG графики Вам необходимо обновить браузер

Для просмотра SVG графики Вам необходимо обновить браузер
Рисунок 7: Логарифмические АЧХ и ФЧХ

Эквивалентная шумовая полоса контура ФАПЧ
Для анализа качества работы контура ФАПЧ при воздействии аддитивного белого гауссова шума (AWGN) на входе используют понятие эквивалентной шумовой полосы, определяемой выражением:
(25)
Поясним физический и геометрический смысл эквивалентной шумовой полосы.
Пусть на входе нашего контура ФАПЧ, который по сути фильтр с передаточной характеристикой действует AWGN со спектральной плотностью мощности (СПМ) . При прохождении шума через наш фильтр он изменит свои характеристики и на выходе будет иметь дисперсию равную . Поскольку АЧХ фильтра может сильно меняться в зависимости от параметров, то и дисперсия шума на выходе тоже будет меняться, хотя полоса пропускания фильтра по уровню -3 дБ остается постоянной, как и спектральная плотность мощности шума на входе . В нашем случае при фиксированной резонансной частоте мы можем менять демпинг фактор и получать различные АЧХ при одной полосе контура ФАПЧ по уровню -3 дБ. Но мы знаем, что если взять идеальный ФНЧ, то при фиксированной СПМ шума на входе фильтра, дисперсия шума на выходе будет зависеть только от полосы идеального ФНЧ. Таким образом эквивалентная шумовая полоса фильтра показывает какую двустороннюю полосу идеального ФНЧ надо взять, чтобы получить такую же дисперсию на выходе , что и при прохождении через наш фильтр. В этом физический смысл эквивалентной шумовой полосы.
Рассмотрим теперь геометрическую трактовку, для этого обратим внимание на рисунок 8.


Рисунок 8: Геометрическая трактовка эквивалентной шумовой полосы

На рисунке 8 красным графиком показана АЧХ контура ФАПЧ . Возводя в квадрат получим квадрат АЧХ контура ФАПЧ , площадь под которым заштрихована красным. Синим показан идеальный ФНЧ, площадь под квадратом АЧХ которого (синяя штриховка) равна площади под квадратом АЧХ контура ФАПЧ. Основание этого прямоугольника есть половина эквивалентной шумовой полосы (так как мы рассмотрели только в одну сторону положительных частот). В этом геометрическая трактовка эквивалентной шумовой полосы.
Для расчета эквивалентной шумовой полосы необходимо вычислить интеграл:
(26)
Интеграл можно вычислить численно, или аналитически. Мы не будем этим заниматься, а приведем следующую формулу для эквивалентной шумовой полосы [N1]:
(27)
Интересующийся читатель может самостоятельно проверить результаты расчета эквивалентной шумовой полосы по формулам (26) и (27).

Динамические характеристики контура ФАПЧ
Пусть контур ФАПЧ производит захват синусоидального сигнала амплитуды при начальном частотном рассогласовании в условиях действия аддитивного белого гауссова шума AWGN со спектральной плотностью мощности .
В [N1] приведены формулы для оценки поведения контура ФАПЧ при захвате и сопровождении этого сигнала.
Время захвата данного сигнала складывается из захвата по частоте и по фазе :
(28)
В выражении (28) эквивалентная шумовая полоса выражена в герцах.
Максимальное частотное рассогласование , при котором возможен захват сигнала должно быть:
(29)
где – демпинг фактор, а эквивалентная шумовая полоса выражена в герцах.
Дисперсия шума оценки фазы на выходе контура ФАПЧ (фазовый шум):
(30)
– эквивалентная шумовая полоса (двусторонняя в Гц), – амплитуда сигнала в вольтах, – СПМ шума имеет размерность Вт/Гц. Таким образом – безразмерная величина.

Выводы
В данной статье мы рассмотрели принцип работы и основные свойства контура ФАПЧ. Были введены понятия статической и астатической ошибки следящей системы, а также порядок астатизма контура ФАПЧ. Установлено, что для сопровождения сигнала по частоте и по фазе требуется контур ФАПЧ 2-го порядка астатизма. Также была получена передаточная характеристика контура ФАПЧ 2-го порядка и рассмотрены ее основные характеристики. Было введено понятие эквивалентной шумовой полосы, и приведена формула ее расчета для контура ФАПЧ 2-го порядка. Кроме того приведены выражения для расчета основных динамических характеристик контура ФАПЧ. В следующей статье мы рассмотрим цифровой контур ФАПЧ и его основные свойства, а также приведем пример моделирования цифрового контура ФАПЧ.

Любые вопросы и пожелания вы можете оставить в гостевой книге, на форуме, или прислать по электронной почте admin@dsplib.ru


Система Orphus
Любое копирование материалов сайта без разрешения автора запрещено.
Разработка и дизайн Бахурин Сергей.