В предыдущей статье мы подробно рассматривали всепропускающие фильтры и их свойства. Мы говорили, что передаточная характеристика всепропускающего фильтра , где – порядок фильтра обладает свойством симметрии коэффициентов числителя относительно знаменателя. Благодаря этому свойству всепропускающий фильтр обладает рядом замечательных свойств, в частности фильтр второго порядка имеет передаточную характеристику у которой всего два коэффициента: и (напомним что в общем случае цифровой фильтр второго порядка имеет пять коэффициентов). Кроме того всепропускающие фильтры могут строиться по рекуррентной схеме, минимизируя количество умножений. В данной статье мы увидим, что фильтр который все пропускает очень полезен при построении на его основе фильтров режекции сигнала (notch filter).

Рассмотрим фильтр показанный на рисунке 1. В структуру данного фильтра входит всепропускающий фильтр второго порядка.

Рассмотрим передаточную характеристику показанного фильтра. Для этого рассмотрим z-образ выходного сигнала относительно z-образа входного сигнала :

Из выражения (1) можно выразить передаточную характеристику :

Распишем передаточную характеристику с учетом (2):

Заметим, что передаточная характеристика полученного фильтра зависит всего от двух коэффициентов: и

Потребуем, чтобы комплексный коэффициент передачи

Откуда следует что

Получили, чтобы вырезать некоторую частоту достаточно задать коэффициент согласно (7). В качестве примера, на рисунке 2 показаны АЧХ и ФЧХ режекторного фильтра для трех частот режекции: (красный график при ); (синий график при ) и (зеленый график при ). При этом коэффициент во всех трех случаях был одинаковым.

Из рисунка 2 можно заметить, что АЧХ на заданных частотах равна нулю, а ФЧХ претерпевает разрыв. Причем можно обратить внимание, что , кроме того при (синий график) можно обратить внимание, что полученная АЧХ симметрична относительно частоты , т.е. . Действительно при комплексный коэффициент передачи фильтра принимает вид:

Тогда АЧХ:

Таким образом мы выяснили как зависит АЧХ режекторного фильтра от параметра всепропускающего фильтра, а именно однозначно задает частоту режекции, но нам осталось понять на что влияет параметр .

На рисунке 3 показаны АЧХ и ФЧХ режекторного фильтра при и различных параметрах .

Очевидно, что при приближении к единице, ширина АЧХ вблизи частоты режекции уменьшается.

Рассмотрим как связана ширина полосы режекторного фильтра вблизи частоты режекции от параметра , для этого рассмотрим рисунок 4.

Поскольку , то АЧХ симметрична относительно частоты режекции , тогда обозначим полосу фильтра по уровню как . Таким образом необходимо найти такое значение при котором АЧХ режекторного фильтра (9) при на частоте была бы равна , т.е.

Получили уравнение, из которого необходимо выразить через . Для начала возведем обе части уравнения в квадрат, для того чтобы избавится от корня:

Сделаем некоторые преобразования: вынесем в числителе двойку за скобки, после чего умножим обе части уравнения на два и получим:

Перенесем знаменатель в правую часть

Раскроем скобки в левой части и приведем подобные.

Решением квадратного уравнения относительно будет:

Получили два решения, подставив можно выразить:

Мы получили два значения , из которых один больше единицы (если знак «+»), а второй меньше единицы (если знак «-»). Обратим внимание, что если , и , то полюсы передаточной характеристики режекторного фильтра (4) лежат вне единичной окружности плоскости z. Это означает, что фильтр при и является неустойчивым, и окончательно можно записать:

В литературе, в частности в [RMV1] можно встретить другую эквивалентную формулу:

Думаю, интересующийся читатель сможет применить тригонометрические тождества для доказательства равенства

Таким образом, мы получили, что коэффициент задает полосу режекторного фильтра по уровню (-3 дБ).

На рисунке 5 показана видоизмененная структура режекторного фильтра на основе всепропускающего фильтра второго порядка.

Структура всепропускающего фильтра на основе рекуррентного соотношения (подробно рассмотренная в предыдущей статье) показана на рисунке 6.

Тогда можно представить структуру режекторного фильтра как это показано на рисунке 7.

Обратим внимание, что на нижнем рисунке 7 объединены два сумматора, которые стоят друг за другом на верхнем рисунке 7.

Таким образом подведем итог. Мы рассмотрели использование всепропускающего фильтра для построения режекторного фильтра и получили структуру режекторного фильтра с двумя коэффициентами и , причем коэффициент однозначно задает частоту, которая будет полностью подавлена согласно выражению (7), а задает полосу фильтра по уровню -3 дБ согласно выражению (18) и (19). Это очень удобно, поскольку коэффициенты не зависят друг от друга и их можно задавать по отдельности. Таким образом, получен фильтр, который можно перестраивать в реальном времени, просто заменяя коэффициенты и .