Расчет КИХ фильтра с линейной фазочастотной характеристикой методом частотной выборки

Содержание

Введение
В предыдущей статье мы подробно рассмотрели физический смысл такой характеристики цифрового фильтра, как групповая задержка. Было показано, что БИХ фильтры с нелинейной фазочастотной характеристикой (ФЧХ) вносят в сигнал фазовые искажения, что часто бывает недопустимо если информация передается при помощи фазовой модуляции. Поэтому особое внимание уделяется фильтром с линейной ФЧХ и постоянной групповой задержкой, которые все частоты задерживают на одну и туже постоянную величину, которая может быть учтена при обработке.
Мы также выяснили, что линейная ФЧХ достижима только в случае конечной импульсной характеристики фильтра, причем существует 4 вида импульсных характеристик, которые обеспечивают линейную ФЧХ.
В данной статье мы рассмотрим порядок расчета КИХ фильтра по произвольно заданной амплитудно-частотной характеристике (АЧХ) с линейной ФЧХ методом частотной выборки.
Предварительно сделаем несколько замечаний, которые обсуждались ранее, но необходимо их вспомнить для понимания текущего материала.
Замечание 1. Необходимо вспомнить, что для КИХ фильтров – количество коэффициентов импульсной характеристики на единицу больше чем порядок фильтра . Напомним, что порядок фильтра всегда равен количеству линий задержки структурной схемы КИХ фильтра, показанной на рисунке 1 (подробно о структурных схемах цифровых фильтров можно почитать здесь).


Рисунок 1: структурная схема КИХ фильтра

Замечание 2. Коэффициенты КИХ фильтра равны значениям отсчетов импульсной характеристики . Таким образом фильтры четного порядка содержат нечетное количество коэффициентов, а фильтры нечетного порядка — четное.
Замечание 3. ФЧХ цифрового фильтра связана с групповой задержкой как
(1)
откуда
(2)
Замечание 4. Обозначим 4 типа импульсных характеристик КИХ фильтра, обладающих линейной ФЧХ как это показано на рисунке 2. Подробно все эти типы были рассмотрены в предыдущей статье.


Рисунок 2: Типы импульсных характеристик КИХ фильтров с линейной ФЧХ

Фильтр 1-го типа. Фильтр четного порядка с нечетным количеством коэффициентов . Импульсная характеристика симметрична относительно отсчета , т. е. , при этом ось симметрии попадает на данный отсчет.
Фильтр 2-го типа. Фильтр нечетного порядка с четным количеством коэффициентов . Импульсная характеристика симметрична относительно оси симметрии , т. е. .
Фильтр 3-го типа. Фильтр четного порядка с нечетным количеством коэффициентов . Импульсная характеристика антисимметрична относительно отсчета , т. е. при этом ось симметрии попадает на центральный отсчет, который должен быть равен нулю .
Фильтр 4-го типа. Фильтр нечетного порядка с четным количеством коэффициентов . Импульсная характеристика антисимметрична относительно оси симметрии , т. е. .
Обратим внимание, что фильтры четного и нечетного порядков вносят задержку при фильтрации, совпадающую с осью симметрии и равную . Таким образом, групповая задержка КИХ фильтра с линейной ФЧХ должна быть постоянной и равна .

Расчет КИХ фильтра с произвольной АЧХ и линейной ФЧХ методом частотной выборки
Пусть задана АЧХ КИХ фильтра аналитически, или предварительно измеренная каким-либо способом. АЧХ КИХ фильтра — периодическая, четная функция с периодом рад/c, как это показано на рисунке 3.


Рисунок 3: Периодическая симметричная АЧХ КИХ фильтра

Важно вспомнить, что частота цифрового фильтра всегда нормирована к частоте дискретизации, поэтому все частотные характеристики фильтров задаются на интервале от 0 до рад/c.
Если бы у нас был комплексный коэффициент передачи фильтра (без модуля), то мы могли бы произвести расчет импульсной характеристики как разложение в ряд Фурье периодической функции :
(3)
Но у нас задана только АЧХ, т.е. модуль комплексного коэффициента передачи , поэтому мы должны добавить ФЧХ , тогда:
, (4)
и можно использовать выражение (3).
Таким образом, мы должны к требуемой АЧХ задать линейную ФЧХ и рассчитать КИХ согласно (3). Для того чтобы правильно задать линейную ФЧХ мы должны потребовать, чтобы фильтр вносил постоянную групповую задержку для любого из четырех типов фильтров. Тогда согласно (2)
(5)
При расчете неопределенного интеграла постоянная интегрирования приравнена к нулю.
Окончательно выражение для импульсной характеристики КИХ фильтра с линейной ФЧХ принимает вид:
(6)
Данное выражение позволяет произвести аналитический расчет импульсной характеристики КИХ фильтра с линейной ФЧХ, что очень важно. Однако, на практике АЧХ может не быть задана аналитически, а даже если и задана, то аналитическое интегрирование не всегда возможно. Поэтому нам бы хотелось производить численный расчет импульсной характеристики КИХ фильтра с произвольной АЧХ, чем мы и займемся дальше.

Численный расчет КИХ фильтра на основе обратного дискретного преобразования Фурье (ОДПФ)
Мы уже говорили о том, что требуется алгоритм численного расчета (6), ввиду сложностей с аналитическим вычислением интеграла (6). Для этой цели мы можем продискретизировать комплексный коэффициент передачи КИХ фильтра как это показано на рисунке 4 и рисунке 5 для четного и нечетного количества коэффициентов КИХ фильтра соответственно. К такому приему мы уже прибегали при переходе от интеграла Фурье к дискретному преобразованию.


Рисунок 4: Дискретизация периодической АЧХ и ФЧХ КИХ фильтра при четном N



Рисунок 5: Дискретизация периодической АЧХ и ФЧХ КИХ фильтра при нечетном N

Дискретизацию будем осуществлять на равноотстоящей сетке:
(7)
Тогда АЧХ и ФЧХ дискретизируются на данной сетке частот и комплексный коэффициент передачи представляется дискретными отсчетами:
(8)
где – дельта-функция:
(9)
Подставив выражение (8) в (6) получим:
(10)
В выражении (10) операции интегрирования и суммирования поменяны местами и применено фильтрующее свойство дельта-функции.
Учтем (7) и окончательно можно записать:
(11)
Выражение (11) ничто иное, как обратное дискретное преобразование Фурье (ОДПФ) комплексного коэффициента передачи
(12)
Это позволяет производить численный расчет КИХ фильтра с произвольной АЧХ с применением алгоритмов быстрого преобразования Фурье, что существенно увеличивает эффективность данного метода.
Сделаем очень важное замечание. При расчете необходимо правильно дискретизировать ФЧХ комплексного коэффициента передачи, так как это показано на рисунках 3 и 5. Так для фильтра с четным количеством коэффициентов ФЧХ дискретизируется согласно выражению (смотри рисунок 3):
(13)
В случае нечетного количества коэффициентов КИХ фильтра , ФЧХ дискретизируется согласно выражению (смотри рисунок 5):
(14)
В случае четного мы получим КИХ фильтр 2-го или 4-го типа, а при нечетном – первого или третьего типа.
Такая дискретизация ФЧХ необходима, чтобы обеспечить свойства симметрии комплексного коэффициента передачи фильтра, который по сути – дискретное преобразование Фурье от импульсной характеристики КИХ фильтра. Поскольку импульсная характеристика должна быть чисто вещественной, то необходимо выдерживать симметрию АЧХ и ФЧХ, иначе при расчете импульсной характеристики при помощи ОДПФ появится мнимая часть.

Эффект Гиббса при расчете фильтров методом частотной выборки
Основное достоинство метода частотной выборки заключается в том, что он позволяет довольно просто рассчитать КИХ фильтр с линейной ФЧХ и произвольной АЧХ, заданной на сетке частот . Для этого требуется построить комплексный коэффициент передачи фильтра на заданной сетке частот, и взять от него обратное дискретное преобразование Фурье. Однако при всей простоте данного метода, он хранит в себе подводные камни. Рассмотрим на примере.
Пусть и нам требуется рассчитать ФНЧ с частотой среза . Аналитически заданная АЧХ ФНЧ, и ее дискретные отсчеты показаны на рисунке 6.


Рисунок 6: Дискретизация периодической АЧХ ФНЧ при N = 16

На рисунке 7 показаны отсчеты линейной ФЧХ, взятые в соответствии с выражением (13) при четном .


Рисунок 7: Дискретизация линейной ФЧХ ФНЧ при N = 16

Таким образом, мы можем сформировать отсчеты комплексного коэффициента передачи как:
(15)
Значения реальной и мнимой частей комплексного коэффициента передачи (15) приведены в таблице:

0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
+1.0000000
-0.9807853
+0.9238795
-0.8314696
+0.0000000
-0.0000000
+0.0000000
-0.0000000
-0.0000000
-0.0000000
+0.0000000
-0.0000000
+0.0000000
-0.8314696
+0.9238795
-0.9807853
-0.0000000
-0.1950903
+0.3826834
-0.5555702
+0.0000000
-0.0000000
+0.0000000
-0.0000000
-0.0000000
+0.0000000
-0.0000000
+0.0000000
-0.0000000
+0.5555702
-0.3826834
+0.1950903

Для расчета коэффициентов фильтра необходимо взять ОДПФ от комплексного коэффициента передачи (15):
(16)
В нашем случае кратно степени двойки, и можно воспользоваться алгоритмом быстрого преобразования Фурье. Результат расчета импульсной характеристики КИХ фильтра с линейной ФЧХ приведен в таблице:

0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
-0.0485469
+0.0307880
+0.0678165
-0.0079250
-0.0980449
-0.0384873
+0.1898828
+0.4045168
+0.4045168
+0.1898828
-0.0384873
-0.0980449
-0.0079250
+0.0678165
+0.0307880
-0.0485469
-0.0000000
-0.0000000
-0.0000000
-0.0000000
+0.0000000
+0.0000000
-0.0000000
-0.0000000
-0.0000000
-0.0000000
+0.0000000
+0.0000000
-0.0000000
+0.0000000
+0.0000000
+0.0000000

Нельзя забывать, что в общем случае результат при обратном дискретном преобразовании Фурье является комплексным, поэтому в таблице приведена как реальная , так и мнимая части импульсной характеристики . Однако, поскольку мы воспользовались свойствами симметрии дискретного преобразования Фурье при дискретизации комплексного коэффициента передачи фильтра, в частности его линейной ФЧХ, то мнимая часть в нашем случае равна нулю (на практике она отличается от нуля ввиду ошибок округления при расчете, но имеет очень маленькие значения и меньше) и импульсная характеристика чисто вещественная.
Замечание. Если при расчете вы получили мнимую часть отличную от нуля, то это означает, что при дискретизации комплексного коэффициента передачи допущена ошибка.
На рисунке 7 показан вид импульсной характеристики рассчитанного фильтра. Как можно заметить, получен фильтр 2-го типа с симметричной импульсной характеристикой и линейной ФЧХ.


Рисунок 8: Импульсная характеристика рассчитанного фильтра

Рисунок 9: АЧХ рассчитанного фильтра точно проходит через узлы дискретизации

На рисунке 8 показана АЧХ рассчитанного фильтра (красный график), которая, как видно, точно проходит через узлы дискретизации, однако между точками дискретизации сильно отличается от идеальной характеристики. При этом наблюдается сильная неравномерность АЧХ в полосе пропускания фильтра, и высокий уровень боковых лепестков в полосе заграждения.
Данный эффект носит название эффекта Гиббса и возникает ввиду ограничения количества отсчетов импульсной характеристики.
Физический смысл эффекта Гиббса заключается в следующем: при дискретизации АЧХ мы задаем точки через которые должна пройти АЧХ рассчитанного фильтра, однако мы не накладываем никаких ограничений на поведение АЧХ в других точках. При расчете мы получаем набор коэффициентов КИХ фильтра как разложение в ряд Фурье комплексного коэффициента передачи. Эти коэффициенты разложение мы рассчитываем через обратное дискретное преобразование Фурье. Поскольку мы ограничиваем количество коэффициентов разложения (количество коэффициентов КИХ фильтра), то получаем усеченный ряд, который лишь аппроксимирует идеальную АЧХ. Аппроксимация будет тем лучше, чем больше коэффициентов импульсной характеристики, т. е. чем чаще мы будем дискретизировать идеальную АЧХ. Эффект Гиббса – негативный эффект, который не позволяет получить КИХ фильтр высокой избирательности. Поэтому было предложено использовать для расчета КИХ фильтров аппарат весовых окон, которые были рассмотрены при спектральном анализе ограниченных во времени сигналов. Использование весовых окно позволяет улучшить частотные характеристики КИХ фильтров, о чем пойдет речь в следующей статье.

Выводы
В данной статье мы рассмотрели алгоритм расчета коэффициентов КИХ фильтра произвольной АЧХ и линейной ФЧХ на основе частотной выборки. Мы показали что численный расчет импульсной характеристики фильтра производится на основе обратного дискретного преобразования Фурье после дискретизации комплексного коэффициента передачи, при этом возможно использование эффективных алгоритмов быстрого преобразования Фурье. Приведен пример расчета КИХ фильтра и показано, что при ограничении порядка фильтра возникает эффект Гиббса – негативный эффект, который искажает АЧХ фильтра, снижая избирательный свойства.

Любые вопросы и пожелания вы можете оставить в гостевой книге, на форуме, или прислать по электронной почте admin@dsplib.ru


Система Orphus
Любое копирование материалов сайта без разрешения автора запрещено.
Разработка и дизайн Бахурин Сергей.