Преобразование ФНЧ-ПФ и ФНЧ-РФ

откуда

(4)

Таким образом мы получили, что симметричные относительно

точки АЧХ исходного нормированного ФНЧ преобразуются в точки с геометрической симметрией относительно частоты

(термин геометрическая симметрия означает, что

, т.е.

есть среднее геометрическое

). Это крайне важное свойство частотного преобразования ФНЧ-ПФ, которое мы будем использовать в дальнейшем.

Расчет полосового фильтра по заданному коридору АЧХ

Геометрическая симметрия полученного ПФ относительно

позволяет нам произвести пересчет частоты заграждения аналогового нормированного ФНЧ таким образом, что при нелинейном преобразовании оси частот согласно выражению (2) АЧХ полученного ПФ полностью укладывалась в заданный коридор АЧХ. До этого мы не накладывали никаких ограничений на частоты коридора АЧХ ПФ, а значит они могут быть выбраны произвольно лишь бы выполнялось условие

. В случае с ФНЧ и ФВЧ у нас всегда была переходная полоса, которая задавала частоту заграждения нормированного ФНЧ, в случае с ПФ таких переходных полос две, и если даже мы удовлетворяем одной из этих двух переходных полос, то нет никакой гарантии, что мы удовлетворяем и второй. Поэтому прежде всего мы должны выработать правило выбора переходной полосы на основе которой мы будем производить пересчет коридора для исходного нормированного ФНЧ. Для этого рассмотрим рисунок 3.

Рисунок 3: Выбор переходной полосы пересчета частоты заграждения

Мы произвольно задали

, рассчитали частоту

согласно выражению

. Теперь воспользовавшись правилом геометрической симметрии мы можем проверить куда относительно нижней частоты заграждения

попадает частота

симметричная верхней частоты заграждения

(на рисунке 3

отмечена красным цветом):

(5)

На рисунке 3 показано два варианта: первый

(верхний график рисунка 3), это означает, что если мы возьмем для расчета верхнюю переходную полосу, то полученная АЧХ не удовлетворит нижней переходной полосе ввиду свойства симметрии, и надо пересчет вести по нижней переходной полосе; второй вариант (нижний график рисунка 3)

говорит о том, что выбрав верхнюю переходную полосу мы одновременно и удовлетворим нижней переходной полосе. Таким образом мы можем выбрать по какой переходной полосе вести пересчет частоты заграждения нормированного ФНЧ. Тогда частоту заграждения нормированного ФНЧ, можно рассчитать из выражения:

(6)

Рассмотрим пример. Пусть

, тогда пересчитываем

(7)

Тогда пересчет частоты заграждения нормированного ФНЧ будем вести при

и получим:

(8)

Рассмотрим второй пример. Пусть теперь коридор АЧХ ПФ задан с такими параметрами:

, тогда пересчитываем

(9)

Тогда пересчет частоты заграждения нормированного ФНЧ будем вести при

и получим:

(10)

Таким образом мы рассмотрели вопрос пересчета частоты заграждения нормированного ФНЧ для удовлетворения заданного коридора АЧХ полосового фильтра. Рассмотрим пример расчета ПФ по заданному коридору АЧХ.

Пример расчета полосового фильтра по заданному коридору АЧХ

Приведем окончательно порядок расчета ПФ по заданному коридору АЧХ на конкретном примере. Пусть нам требуется рассчитать полосовой эллиптический фильтр, причем коридор АЧХ задан следующим образом:

Нижняя частота заграждения:

;

Нижняя частота пропускания:

;

Верхняя частота пропускания:

;

Верхняя частота заграждения:

;

Неравномерность в полосе пропускания:

;

Уровень подавления в полосе заграждения:

Шаг 1. Рассчитываем частоту геометрической симметрии

АЧХ и полосу пропускания

полосового фильтра согласно (1):

(11)

Шаг 2. Пересчитываем полосу заграждения нормированного эллиптического ФНЧ. Для этого проверяем

согласно (5):

(12)

Тогда в выражение (6) подставляем

и получим:

(13)

Шаг 3. Рассчитываем нормированный эллиптический ФНЧ по следующему коридору АЧХ: частота среза

, частота заграждения

, неравномерность в полосе пропускания

и подавление в полосе заграждения

. Передаточная характеристика нормированного ФНЧ, рассчитанная по заданному коридору АЧХ (как рассчитывается эллиптический фильтр смотри здесь) имеет вид:

(14)

Шаг 4. Осуществляем подстановку:

(15)

И получаем передаточную характеристику полосового фильтра с коэффициентами числителя и знаменателя приведенными в таблице:


0.0	1.4862e+7	0.0	2.0305e+6	0.0	71846	0.0	360.97	0.0	0.469721	0.0


2.373e+9	2.9217e+8	2.3613e+8	2.1934e+7	7.9269e+6	5.0402e+5	1.0569e+5	3899.4	559.71	9.2340	1.0

Обратите внимание, что при преобразовании ФНЧ-ПФ количество коэффициентов передаточной функции увеличивается, и максимальные степени полиномов числителя и знаменателя ПФ в 2 раза выше чем степени нормированного ФНЧ. Это связано с тем что подстановка содержит

. Теперь нужно сделать одно важное замечание. Когда мы вводили понятие порядка фильтра, мы говорили о том, что порядок фильтра равен максимальной степени полинома числителя или знаменателя фильтра, но это относилось к ФНЧ. Для ПФ порядок в 2 раза ниже максимальной степени полиномов числителя и знаменателя. Так в нашем примере порядок ПФ равен 5 (как и порядок нормированного ФНЧ), а максимальная степень полиномов равна 10. Поэтому если идет речь о том, что необходимо рассчитать ПФ 7-го порядка, то это означает, что нормированный ФНЧ должен быть 7-го порядка, а полиномы числителя и знаменателя ПФ будут иметь степень 14, а количество коэффициентов передаточной характеристики полосового фильтра 7-го порядка будет равно 15. На рисунках 4 и 5 показаны АЧХ нормированного ФНЧ (14), а также полученного полосового фильтра, коэффициенты передаточной функции которого приведены в таблицах выше.

Рисунок 4: АЧХ нормированного ФНЧ

Рисунок 5: АЧХ рассчитанного полосового фильтра

Как можно заметить из рисунка 5, АЧХ полученного полосового фильтра полностью укладывается в заданный коридор.

Частотное преобразование ФНЧ-РФ

Нам осталось рассмотреть лишь одно преобразование передаточных характеристик, а именно ФНЧ - режекторный фильтр (ФНЧ-РФ). Коридор АЧХ для режекторного фильтра показан на рисунке 6.

Рисунок 6: Коридор АЧХ режекторного фильтра

Как и полосовой фильтр, РФ имеет две переходные полосы, причем в отличии от ПФ, частоты коридора АЧХ режекторного фильтра удовлетворяют следующему правилу:

, т.е. верхняя и нижняя частоты заграждения находятся рядом, а верхняя и нижняя частоты пропускания по краям.

Преобразования фильтра нижних частот в режекторный фильтр осуществляется при помощи подстановки:

(16)

Видно что данная подстановка обратна преобразованию ФНЧ-ПФ.

При этом частотная ось ФНЧ связана с частотной осью РФ соотношением:

(17)

Обратите внимание, что при пересчете используются как положительные, так и отрицательные частоты

комплексного коэффициента передачи

. Также можно заметить, если

, то согласно (17),

, или

т.е. нулевая частота исходного ФНЧ «расходится» на 0 и на бесконечность. Если

то согласно (17),

. Таким образом, вся отрицательная полуось частот исходного ФНЧ преобразуется в интервал от 0 до

режекторного фильтра, а положительная полуось частот нормированного ФНЧ преобразуется в интервал от

до бесконечности. При этом полуоси исходного ФНЧ как бы «выворачиваются», т.е. нулевая частота

«раздваивается» и расходится на бесконечность

, а частоты разнесенные на бесконечность

сходятся в точке

. Графически частотное преобразование ФНЧ-РФ показано на рисунке 7.

Рисунок 7: Графическое представление преобразования ФНЧ-РФ

Крайне важно заметить, что исходный ФНЧ не является нормированным, т.е. его частота среза не равна единицы, а меньше, так как на частоте

ФНЧ должен обеспечивать заданный уровень подавления.

Как и в случае с полосовым фильтром, частотная характеристика преобразованного режекторного фильтра обладает геометрической симметрией относительно частоты

. Действительно, возьмем две произвольные частоты, расположенные симметрично относительно нуля в АЧХ исходного ФНЧ

, тогда согласно (17) этим частотам после преобразования будут соответствовать некоторые частоты режекторного фильтра:

(18)

Тогда можно приравнять:

(19)

При произвольном задании частот коридора АЧХ режекторного фильтра (рисунок 6), мы должны так выбрать частоту среза исходного ФНЧ (напомним еще раз, что при расчете режекторного фильтра мы зафиксировали частоту заграждения исходного ФНЧ

, а значит должны задавать именно частоту среза

), при которой пересчитанный РФ будет удовлетворять заданному коридору АЧХ. Для задания частоты среза

исходного ФНЧ необходимо, произвести анализ по аналогии с тем, что мы делали при расчете ПФ. А именно рассчитаем симметричные частоты для верхней и нижней частот среза РФ:

(20)

После этого необходимо сделать выбор: если

, тогда пересчет частоты среза исходного ФНЧ осуществлять на основе верхней частоты среза по формуле:

(21)

В противном случае (если

), то пересчет осуществлять по нижней частоте среза РФ:

(22)

Рассмотрим пример. Пусть частоты коридора АЧХ РФ заданы следующими значениями:

. Произведем пересчет частоты среза исходного ФНЧ. Для этого предварительно рассчитаем частоту

. Рассчитываем симметричные частоты согласно (20):

(23)

Получили, что

, и значит, что пересчет частоты среза ФНЧ надо вести по формуле (22), так как при этом

и АЧХ полученного фильтра полностью уложится в заданный коридор. Рассчитаем частоту среза исходного ФНЧ согласно (22), при учете, что

(24)

Обратите внимание, что частота среза полученного ФНЧ меньше единицы.

Таким образом, порядок расчета режекторного фильтра по заданному коридору АЧХ можно окончательно представить следующим образом:

Шаг 1. Выбор переходной полосы, по которой производить пересчет коридора АЧХ для ФНЧ по рассмотренному выше правилу и расчет частоты среза ФНЧ согласно (21) или (22).

Шаг 2. Расчет ФНЧ по заданному коридору АЧХ, полученному в шаге 1. Параметры неравномерности в полосе пропускания и уровня подавления в полосе заграждения принимаются такие же что и у режекторного фильтра.

Шаг 3. При помощи частотного преобразования производим пересчет частотной характеристики ФНЧ в РФ согласно (16).

Пример расчета режекторного фильтра по заданному коридору АЧХ

Пусть необходимо рассчитать эллиптический режекторный фильтр, заданный следующим коридором АЧХ

нижняя частота среза

;

нижняя частота заграждения

;

верхняя частота заграждения

;

верхняя частота среза

;

неравномерность в полосе пропускания

;

уровень подавления в полосе заграждения

Шаг 1. Был подробно рассмотрен в примере выше. Получили частоту среза ФНЧ равную

Шаг2. Расчет ФНЧ по следующему коридору АЧХ:

частота среза

частота заграждения

неравномерность в полосе пропускания

уровень подавления в полосе заграждения

Передаточная характеристика ФНЧ, удовлетворяющая заданному коридору имеет вид:

(25)

При расчете передаточной характеристики ФНЧ применялось преобразование нормированного ФНЧ в ФНЧ с частотой среза

(смотри предыдущую статью).

Шаг 3. Применяем подстановку :

(26)

В результате численной подстановки получим передаточную функцию режекторного фильтра, коэффициенты которой представлены в таблице:


122330	0.0	12355	0.0	430.85	0.0	6.1013	0.0	0.02983


137260	49199	27130	4772.2	1326.2	106.05	13.397	0.53991	0.03347

Обратите внимание, что при преобразовании ФНЧ-РФ количество коэффициентов передаточной функции, как и в случае с преобразованием ФНЧ-ПФ увеличивается, и максимальные степени полиномов числителя и знаменателя РФ в 2 раза выше чем степени исходного ФНЧ. Это связано с тем что подстановка содержит

. Как и в случае с ПФ порядок РФ определяется порядком исходного ФНЧ, а не степенью полиномов числителя и знаменателя. Так в нашем примере порядок РФ равен 4 (как и порядок нормированного ФНЧ), а максимальная степень полиномов равна 8. Поэтому если идет речь о том, что необходимо рассчитать РФ 7-го порядка, то это означает, что нормированный ФНЧ должен быть 7-го порядка, а полиномы числителя и знаменателя ПФ будут иметь степень 14. На рисунках 8 и 9 показаны АЧХ исходного ФНЧ, а также полученного режекторного фильтра (коэффициенты передаточной функции приведены в таблицах выше).

Рисунок 8: АЧХ исходного ФНЧ для расчета РФ

Рисунок 9: АЧХ режекторного фильтра, рассчитанного по заданному коридору АЧХ

Как видно из рисунка рассчитанный РФ полностью размещается в заданном коридоре АЧХ.

Для программной реализации всех частотных преобразований используют алгоритм дробно-рациональной подстановки, подробно рассмотренный здесь.

Выводы

Таким образом мы рассмотрели расчет полосового и режекторного фильтров по заданному коридору АЧХ на основе частотного преобразования ФНЧ. Было показано, что АЧХ ПФ и РФ обладают свойством геометрической симметрии, кроме того порядок полиномов числителя и знаменателя передаточной функции после частотного преобразования удваивается по сравнению с исходным ФНЧ.

Любые вопросы и пожелания вы можете оставить в гостевой книге, на форуме, или прислать по электронной почте admin@dsplib.ru

Наверх Вернуться к списку статей