Преобразование ФНЧ-ФНЧ и ФНЧ-ФВЧ

Частотные преобразования фильтров. Преобразование ФНЧ-ФНЧ и ФНЧ-ФВЧ

Содержание

Расчет ФНЧ с заданной частотой среза на основе коридора АЧХ

Расчет ФВЧ с заданной частотой среза по заданному коридору АЧХ

Введение. Постановка задачи

В предыдущих статьях мы рассмотрели вопросы расчета аналоговых нормированных фильтров нижних частот. Был рассмотрен расчет фильтров Баттерворта, Чебышева и Кауэра (эллиптических фильтров). Однако это были лишь ФНЧ с частотой среза равной 1 рад/с. На практике требуется рассчитать различные типы фильтров: фильтры верхних частот (ФВЧ), полосовые фильтры (ПФ) и режекторные фильтры (РФ), да и ФНЧ тоже может потребоваться с различной частотой среза. В данной статье мы рассмотрим как нормированный ФНЧ можно пересчитать в любой тип фильтра с заданными характеристиками. Такой пересчет называется частотное преобразование фильтра и строится на дробно-рациональной подстановке, численный расчет которой был представлен здесь.

Пусть мы рассчитали передаточную характеристику нормированного ФНЧ

при использовании выбранной аппроксимации АЧХ фильтра (Баттерворта, Чебышева или Кауэра):

	(1)

Частота среза нормированного ФНЧ равна

. Рассмотрим различные частотные преобразования передаточной характеристики

Преобразование ФНЧ-ФНЧ

Первое что мы рассмотрим, это преобразование нормированного ФНЧ с передаточной характеристикой

в ФНЧ, с передаточной характеристикой

, но с другой частотой среза

. При этом очень важно, чтобы неравномерность в полосе пропускания фильтра и уровень подавления в полосе заграждения не изменились. Для этого используют дробно-рациональную подстановку вида:

	(2)

Такая подстановка эквивалентна подстановке частоты в выражения для комплексного коэффициента передачи:

	(3)

где

- циклическая частота нормированного ФНЧ с АЧХ

. Графическое представление частотного преобразования ФНЧ-ФНЧ показано на рисунке 1.

Рисунок 1: Графическое представление частотного преобразования ФНЧ->ФНЧ

На верхнем левом графике показана АЧХ исходного нормированного ФНЧ

, а на нижнем правом — АЧХ после частотного преобразования

(повернутая на 90 градусов). Для того, чтобы неравномерность в полосе пропускания и уровень подавления в полосе заграждения пересчитанного фильтра были такими же, что и у исходного нормированного ФНЧ, используют проекцию

(верхний правый график), а для преобразования оси частот используют проекцию (3), как это показано на нижнем левом графике. Сами проекции отмечены синими и зелеными пунктирными линиями. Пересечение проекций преобразуют частоту согласно (3). Так на рисунке 1 показано преобразование нескольких точек исходного нормированного ФНЧ в ФНЧ с заданной частотой среза

Например рассчитаем нормированный эллиптический ФНЧ, исходя из следующих начальных данных:

частота среза

;

частота заграждения

неравномерность в полосе пропускания

подавление в полосе заграждения

Передаточная характеристика рассчитанного фильтра равна:

	(4)

Пересчитаем полученную передаточную характеристику в передаточную характеристику эллиптического ФНЧ с частотой среза

. Для этого в выражение (4) сделаем подстановку (2) получим:

	(5)

На рисунках показаны АЧХ исходного нормированного ФНЧ и пересчитанного ФНЧ после частотного преобразования.

Рисунок 2: АЧХ исходного нормированного ФНЧ

Рисунок 3: АЧХ пересчитанного ФНЧ с частотой среза 10 рад/с

Расчет ФНЧ с заданной частотой среза на основе коридора АЧХ

Из рисунков 1 - 3 можно заметить, что неравномерность в полосе пропускания и уровень подавления в полосе заграждения не изменились, частота среза пересчитанного фильтра (рисунок 3) стала равна

, но и переходная полоса тоже изменилась. АЧХ пересчитанного фильтра как бы «растянулась» до нужной частоты среза. При этом «растяжении» АЧХ, переходная полоса также растягивается, поэтому для расчета ФНЧ с заданной частотой среза и заданной переходной полосой необходимо рассчитывать передаточную характеристику ФНЧ по следующему правилу:

Шаг 1. Задаем частоту среза

и частоту заграждения рассчитываемого фильтра

Параметры коридора АЧХ нормированного ФНЧ задаются следующим образом:

	(6)

Шаг 2. Рассчитываем передаточную характеристику нормированного ФНЧ

Шаг 3. Осуществляем подстановку (2) и получаем искомую передаточную характеристику фильтра.

Например рассчитаем эллиптический ФНЧ исходя из следующих начальных данных:

частота среза

;

частота заграждения

;

неравномерность в полосе пропускания

;

подавление в полосе заграждения

;

Шаг 1. Рассчитываем коридор нормированного ФНЧ:

частота среза

;

частота заграждения

;

неравномерность в полосе пропускания

;

подавление в полосе заграждения

;

Шаг 2. Рассчитываем передаточную характеристику нормированного ФНЧ. Получаем

со следующими коэффициентами:


0.18601	0.0	0.28002	0.0	0.11727	0.0	0.01


0.20871	0.56518	1.43169	1.47989	2.23783	0.91544	1.00000

Шаг 3. Осуществляем подстановку (2):

	(7)

И получаем передаточную характеристику ФНЧ

, рассчитанную по заданному коридору АЧХ. Коэффициенты передаточной характеристики приведены в таблицах:


186010.0	0.0	2800.2	0.0	11.727	0.0	0.01


208710.0	56518.0	14317.0	1479.9	223.78	9.1544	1.0

АЧХ исходного нормированного ФНЧ и ФНЧ после частотного преобразования показаны на рисунках 4 и 5.

Рисунок 4: АЧХ исходного нормированного ФНЧ с пересчитанной переходной полосой

Рисунок 5: АЧХ ФНЧ, рассчитанного по заданному коридору АЧХ

Серым отмечен заданный коридор АЧХ рассчитываемого ФНЧ. Из рисунка 5 хорошо видно, что рассчитанный ФНЧ с частотой среза

полностью укладывается в заданный коридор АЧХ.

Преобразование ФНЧ-ФВЧ

В данном разделе мы рассмотрим вопрос частотного преобразования нормированного ФНЧ в фильтр верхних частот с частотой среза

, при сохранении неравномерности АЧХ в полосе пропускания и уровня подавления в полосе заграждения. Для частотного преобразования ФНЧ-ФВЧ применяют следующую подстановку:

	(8)

Как нетрудно заметить, подстановка (8) обратна подстановке (2), таким образом, частотное преобразование можно графически представить как это показано на рисунке 6.

Рисунок 6: Графическое представление частотного преобразования ФНЧ-ФВЧ

Как и в случае преобразования ФНЧ-ФНЧ, на верхнем левом графике показана АЧХ исходного нормированного ФНЧ

, а на нижнем правом — АЧХ после частотного преобразования

(повернутая на 90 градусов). Для того, чтобы неравномерность в полосе пропускания и уровень подавления в полосе заграждения пересчитанного фильтра были такими же что и у исходного нормированного ФНЧ, используют проекцию

(верхний правый график), а для преобразования оси частот используют проекцию, как это показано на нижнем левом графике. Сами проекции отмечены синими и зелеными пунктирными линиями. Пересечение проекций преобразуют частотную ось. Так показано преобразование нескольких точек исходного нормированного ФНЧ в ФВЧ с заданной частотой среза

Данное преобразование является нелинейным, так как

, таким образом, нулевая частота исходного нормированного ФНЧ переносится на бесконечность, полоса нормированного ФНЧ от 0 до 1 рад/с преобразуется в полосу ФВЧ от

до бесконечности, а полоса нормированного ФНЧ от 1 рад/с до бесконечности рад/с полностью размещается внутри полосы от 0 до

пересчитанного ФВЧ. Таким образом ось частот как бы «выворачивается» относительно частоты 1 рад/с и переносится на

Например преобразуем передаточную характеристику эллиптического ФНЧ (4) в ФВЧ с частотой среза

. Произведем подстановку (8) и получим передаточную характеристику

	(9)

АЧХ исходного ФНЧ показана на рисунке 7 . На рисунке показана АЧХ ФВЧ с частотой среза

полученного при помощи частотного преобразования (8).

Рисунок 7: АЧХ исходного нормированного ФНЧ

Рисунок 8: АЧХ пересчитанного ФВЧ с частотой среза

Расчет ФВЧ с заданной частотой среза по заданному коридору АЧХ

При расчете ФВЧ, также как и в случае с ФНЧ, мы можем задать коридор АЧХ, как это показано на рисунке 9

Рисунок 9: Коридор АЧХ для фильтра верхних частот

Для расчета ФВЧ по заданном коридору АЧХ необходимо исходный нормированный ФНЧ рассчитать исходя из следующих параметров:

	(10)

Обратите внимание, что в отличии от ФНЧ, частота среза фильтра верхних частот всегда выше частоты заграждения

(смотри рисунок 9), тогда при расчете нормированного ФНЧ согласно (10)

Например рассчитаем эллиптический ФВЧ исходя из следующих начальных данных:

частота среза

;

частота заграждения

;

неравномерность в полосе пропускания

;

подавление в полосе заграждения

Шаг 1. Рассчитываем коридор нормированного ФНЧ:

частота среза

;

частота заграждения

;

неравномерность в полосе пропускания

;

подавление в полосе заграждения

Шаг 2. Рассчитываем передаточную характеристику нормированного ФНЧ. Получаем

со следующими коэффициентами:


0.18601	0.0	0.28002	0.0	0.11727	0.0	0.01


0.20871	0.56518	1.43169	1.47989	2.23783	0.91544	1.00000

Шаг 3. Осуществляем подстановку (2):

	(11)

И получаем передаточную характеристику ФВЧ

, рассчитанную по заданному коридору АЧХ. Коэффициенты передаточной характеристики приведены в таблицах:


29860	0.0	2431.6	0.0	40.323	0.0	0.18601


2986000	227790	46404	2557.2	206.16	6.7822	0.20871

АЧХ исходного нормированного ФНЧ и ФВЧ после частотного преобразования показаны на рисунках 10 и 11.

Рисунок 10: АЧХ исходного нормированного ФНЧ с пересчитанной переходной полосой

Рисунок 11: АЧХ ФВЧ, рассчитанного по заданному коридору АЧХ

Как видно из рисунка 11 рассчитанный ФВЧ полностью размещается в заданном коридоре АЧХ.

Таким образом мы рассмотрели в данной статье как преобразовать нормированный ФНЧ в ФНЧ с заданной частотой среза, а также в ФВЧ с заданной частотой среза. При этом важно подчеркнуть, что пересчет ФНЧ-ФНЧ и ФНЧ-ФВЧ не изменяет количества коэффициентов передаточной характеристики фильтра. В следующей статье мы рассмотрим оставшиеся два преобразования: ФНЧ — полосовой фильтр и ФНЧ — режекторный фильтр.

Любые вопросы и пожелания вы можете оставить в гостевой книге, на форуме, или прислать по электронной почте admin@dsplib.ru

Наверх Вернуться к списку статей