Расчет аналогового эллиптического фильтра нижних частот

Содержание

Введение. Исходные данные и основные соотношения при аппроксимации АЧХ фильтра
В предыдущей статье мы рассмотрели основные свойства полиномов комплексной переменной и передаточной функции аналогового фильтра . Также была рассмотрена постановка задачи расчета фильтра, и проанализированы основные виды аппроксимирующих полиномов АЧХ фильтра.
В данной статье мы рассмотрим расчет нормированного эллиптического фильтра Кауэра (Золотарева-Кауэра) по заданному коридору АЧХ, показанному на рисунке 1.


Рисунок 1: Идеальная и реальная АЧХ ФНЧ

В отличии от фильтров Чебышева первого и второго рода, АЧХ эллиптических фильтров имеет равноволновые колебания как в полосе пропускания, так и в полосе заграждения.
Приведем основные соотношения связывающие параметры аппроксимации АЧХ (данные соотношения были подробно рассмотрены здесь):

(1)

Аппроксимация АЧХ нормированного ФНЧ Кауэра представляется в виде:

(2)

где - эллиптическая дробно-рациональная функция, зависящая от параметра порядка :

(3)

Все вышеприведенные соотношения уже были рассмотрены ранее. Мы привели их еще раз без пояснений, и они нам будут необходимы при рассечете фильтра Кауэра.
Порядок эллиптического фильтра можно рассчитать из уравнения:

(4)

где - полный эллиптический интеграл, а - полный комплиментарный эллиптический интеграл (подробнее здесь), а и рассчитываются согласно (1).

Порядок расчета эллиптического фильтра Кауэра
Итак приступим. Исходными данными для расчета эллиптического фильтра служат: частота среза , переходная полоса, задаваемая , допустимое искажение в полосе пропускания и требуемое подавление в полосе заграждения .
Первый шаг: из выражения (1) рассчитываются параметры , , и .
Второй шаг — расчет требуемого порядка фильтра согласно выражению (4).
Третий шаг пересчет параметра согласно следующему выражению:

(5)

Смысл пересчета параметра заключается в том, что при расчете порядка фильтра согласно выражению (4), мы округляем до ближайшего целого, в результате мы меняем параметры эллиптической дробно-рациональной функции. Так на рисунках 2-4 показаны АЧХ эллиптического фильтра при различном и фиксированном . Из рисунков 2-4 видно, что увеличение порядка при фиксированном приводит к изменению уровня боковых лепестков при аппроксимации АЧХ фильтра. В результате фильтр рассчитывается с большим запасом по уровню подавления сигнала в полосе заграждения.

Для просмотра SVG графики Вам необходимо обновить браузер
Рисунок 2: АЧХ эллиптического фильтра при

Для просмотра SVG графики Вам необходимо обновить браузер
Рисунок 3: АЧХ эллиптического фильтра при

Для просмотра SVG графики Вам необходимо обновить браузер
Рисунок 4: АЧХ эллиптического фильтра при
С другой стороны, эллиптическая дробно-рациональная функция допускает изменение модуля , тем самым появляется возможность оставить уровень подавления в полосе заграждения постоянным (ни у фильтров Чебышева ни у фильтров Баттерворта подобного параметра нет). Для этого и применяют выражение (5). Так на рисунках 5-7 показаны АЧХ эллиптических фильтров различного порядка с пересчитанными согласно (5) модулями .

Для просмотра SVG графики Вам необходимо обновить браузер
Рисунок 5: АЧХ эллиптического фильтра при

Для просмотра SVG графики Вам необходимо обновить браузер
Рисунок 6: АЧХ эллиптического фильтра при

Для просмотра SVG графики Вам необходимо обновить браузер
Рисунок 7: АЧХ эллиптического фильтра при
Видно, что все фильтры имеют одинаковый уровень боковых лепестков в полосе заграждения, но при увеличении порядка фильтра сужается переходная полоса фильтра. Таким образом, важно понять, что при округлении порядка фильтра необходимо произвести пересчет модуля для обеспечения заданного уровня боковых лепестков АЧХ фильтра.
Шаг 4. расчет передаточной функции эллиптического фильтра. Здесь как и ранее мы остановимся более подробно.

Нули и полюса эллиптического фильтра
Предварительно очень рекомендую еще раз обратится к рекуррентным соотношениям для расчета эллиптических функций при помощи преобразования Ландена, так как они являются основным вычислительным инструментом при расчете эллиптических фильтров.
Поскольку , то и выражение (2) можно переписать:

(6)

Эллиптическая дробно-рациональная функция имеет как нули так и полюса. Тогда согласно (6) обращается в ноль, когда знаменатель выражения (2) равен бесконечности. Другими словами, нули эллиптического фильтра совпадают с полюсами эллиптической дробно-рациональной функции и находятся из уравнения:

(7)

решение которого можно представить:

(8)

С учетом (6), нули эллиптического фильтра можно записать:

(9)

Полюса эллиптического фильтра можно найти решив уравнение

(10)

Мы не будем решать данное уравнение, а приведем выражения для полюсов эллиптического фильтра, расположенных в левой полуплоскости в окончательном виде для четного порядка фильтра:

(11)

Для нечетного порядка дополнительно будет еще один некратный чисто вещественный полюс :

(12)

Расположение нулей и полюсов эллиптического фильтра на комплексной плоскости для фильтра четного и нечетного порядков при подавлении в полосе заграждения равном 45 дБ показано на рисунках 8 и 9.

Для просмотра SVG графики Вам необходимо обновить браузер
Рисунок 8: Расположение нулей и полюсов эллиптического фильтра 5-го порядка

Для просмотра SVG графики Вам необходимо обновить браузер
Рисунок 9: Расположение нулей и полюсов эллиптического фильтра 6-го порядка
Красными крестиками обозначены полюса фильтра, а синими кружочками — нули. Видно, что у фильтра нечетного порядка имеются чисто вещественные полюса. Обратите внимание, что нули и полюса отображены в одинаковом масштабе. Все полюса фильтра расположены на эллипсе, как и у фильтра Чебышева первого рода, но в отличии от фильтра Чебышева первого рода, эллиптический фильтр имеет нули, как и инверсный фильтр Чебышева. Это позволяет регулировать как неравномерность АЧХ в полосе пропускания, так и уровень подавления в полосе заграждения.

Передаточная характеристика эллиптического фильтра
Зная нули и полюса эллиптического фильтра, выразив из них только полюса, лежащие в левой полуплоскости можно получить передаточную характеристику фильтра в виде:

(13)

Для представления передаточной характеристики эллиптического фильтра при помощи биквадратной формы заметим, что в случае нечетного порядка имеется не кратный вещественный полюс. При остальных полюса будут комплексно-сопряженные. Тогда для любого , где может принимать значения 0 или 1, передаточную функцию эллиптического фильтра можно записать через биквадратную форму:

(14)

где и - реальная и мнимая части соответственно.
Тогда, коэффициент передачи на нулевой частоте фильтра при равен:

(15)

Также необходимо учесть, что как и в случае с фильтром Чебышева первого рода, эллиптический фильтр на нулевой частоте имеет коэффициент передачи равный . Тогда окончательно можно передаточную характеристику эллиптического фильтра для порядка представить в виде:

(16)


Пример расчета эллиптического фильтра
Рассчитаем нормированный эллиптический ФНЧ исходя из следующего коридора АЧХ:

(17)

Шаг 1. Из выражения (1) рассчитаем параметры коридора:

(18)

Шаг 2. Рассчитаем порядок фильтра удовлетворяющий заданному коридору согласно выражению (4). Для этого предварительно при помощи преобразования Ландена рассчитаем полные и комплиментарные эллиптические интегралы:

(19)

Тогда порядок фильтра равен:

(20)

Округляем в большую сторону, таким образом порядок фильтра .
Шаг 3. Пересчет эллиптического модуля согласно выражению (5). Предварительно представим , откуда , . Тогда

(21)

Пересчитываем модуль :

(22)

Вычисление эллиптических функций производилось также при помощи преобразования Ландена.
Шаг 4. Расчет нулей и полюсов фильтра.
Нули фильтра рассчитываются согласно (16):

(23)

Рассчитаем полюса фильтра. Для этого предварительно рассчитаем:

(24)

Тогда полюса согласно выражению (16):

(25)

Поскольку , то рассчитываем некратный полюс :

(26)

Шаг 5. Рассчитываем передаточную характеристику на основе биквадратной формы согласно выражению (16). Для этого произведем предварительно расчет коэффициента передачи на нулевой частоте для нормировки фильтра.

(27)

Поскольку фильтр нечетного порядка, то учитывать не требуется.
Передаточная характеристика фильтра равна:

(28)

На этом расчет эллиптического фильтра можно считать оконченным.
Подставив в выражение для передаточной характеристики получим комплексный коэффициент передачи из которого можно рассчитать АЧХ, ФЧХ и групповую задержку фильтра. На рисунках 10 - 12 показаны графики АЧХ, ФЧХ и групповой задержки рассчитанного фильтра

Для просмотра SVG графики Вам необходимо обновить браузер
Рисунок 10: АЧХ рассчитанного фильтра

Для просмотра SVG графики Вам необходимо обновить браузер
Рисунок 11: ФЧХ рассчитанного фильтра

Для просмотра SVG графики Вам необходимо обновить браузер
Рисунок 12: Групповая задержка рассчитанного фильтра
На графике АЧХ серым цветом отмечен заданный коридор в который помещается АЧХ рассчитанного фильтра. Как видно из рисунка фильтр полностью укладывается в заданный коридор АЧХ.

Выводы
В данной статье мы рассмотрели расчет аналогового нормированного ФНЧ Кауэра (эллиптический фильтр). Были получены выражения для нулей и полюсов эллиптического фильтра , показано геометрическое расположение нулей и полюсов на комплексной плоскости. Приведено выражение для передаточной характеристики фильтра на основе биквадратной формы для четного и нечетного порядков фильтра. Показан вид АЧХ эллиптического фильтра и рассмотрен пример расчета фильтра по заданному коридору АЧХ.

Любые вопросы и пожелания вы можете оставить в гостевой книге, на форуме, или прислать по электронной почте admin@dsplib.ru


Система Orphus
Любое копирование материалов сайта без разрешения автора запрещено.
Разработка и дизайн Бахурин Сергей.