Расчет аналогового нормированного ФНЧ Чебышева второго рода

Содержание

Введение. Исходные данные и основные соотношения при аппроксимации АЧХ фильтра
В предыдущей статье мы рассмотрели основные свойства полиномов комплексной переменной и передаточной функции аналогового фильтра . Также была рассмотрена постановка задачи расчета фильтра, и проанализированы основные виды аппроксимирующих полиномов АЧХ фильтра.
В данной статье мы рассмотрим расчет фильтра Чебышева второго рода (инверсный фильтр Чебышева) по заданному коридору АЧХ, показанному на рисунке 1.

Рисунок 1: Идеальная и реальная АЧХ ФНЧ

В отличие от фильтров Чебышева первого рода, инверсные фильтры Чебышева обладают гладкой АЧХ в полосе пропускания и обеспечивают заданный уровень подавления в полосе заграждения.
(1)
Аппроксимация АЧХ ФНЧ Чебышева второго рода представляется в виде:
(2)
где - многочлен Чебышева.
Порядок фильтра Чебышева второго рода рассчитывается из уравнения:
(3)
Решение которого имеет вид:
(4)
где - арккосинус гиперболический.
Все вышеприведенные соотношения уже были рассмотрены ранее. Мы привели их еще раз без пояснений, и они нам будут необходимы при рассечет фильтра Чебышева второго рода.

Порядок расчета фильтра Чебышева второго рода
Итак приступим. Исходными данными для расчета фильтра Чебышева второго рода служат: частота среза , переходная полоса, задаваемая , допустимое искажение в полосе пропускания и требуемое подавление в полосе заграждения .
Первый шаг: из выражения (1) рассчитываются параметры , , и .
Второй шаг расчет требуемого порядка фильтра согласно выражению (4).
Далее необходимо произвести расчет передаточной функции фильтра Чебышева второго рода. И здесь мы остановимся подробнее

Нули и полюса фильтра Чебышева второго рода
Предварительно мы вспомним некоторые свойства тригонометрических функций комплексного переменного. Во первых рассмотрим косинус комплексной переменной . Представим как косинус суммы и получим:
(5)
Учтем, что тригонометрические функции связаны с гиперболическими следующими соотношениями:
(6)
Тогда окончательно можно представить выражение (5), с учетом выражения (6) и:
(7)
Соотношение (7) мы будем широко использовать в дальнейшем. Также вспомним следующее соотношение справедливое для произведения комплексно-споряженных чисел:
(8)
Данное соотношение нам также очень пригодится.
Итак приступим к расчету передаточной функции фильтра Чебышева второго рода. Порядок расчета очень похож на тот, что мы использовали при расчете фильтра Чебышева первого рода. Для фильтра Чебышева второго рода мы рассчитаем нули и полюса квадрата модуля передаточной характеристики, выберем из них только те, что лежат в левой полуплоскости (с отрицательной реальной частью) для обеспечения физической реализуемости и устойчивости фильтра, и после представим передаточную функцию фильтра на основе биквадратной формы.
В отличие от фильтра Чебышева первого рода, инверсный фильтр Чебышева имеет нули, которые находятся из уравнения:
(9)
Учтем что , тогда уравнение (9) примит вид:
(10)
Откуда можно получить выражение для нулей фильтра Чебышева второго рода :
(11)
Нули фильтра Чебышева второго рода всегда чисто мнимые и по модулю больше нуля. Расположение нулей на комплексной плоскости будет показано ниже. Пока же мы получим выражение для полюсов фильтра Чебышева второго рода. Порядок расчета полюсов фильтра Чебышева второго рода тот же, что и порядок расчета полюсов фильтра Чебышева первого рода.
Для расчета полюсов фильтра Чебышева приравняем знаменатель (2) к нулю:
(12)
Учтем (8), тогда выражение (12) можно представить в виде произведения комплексно-сопряженных выражений:
(13)
Уравнение (13) можно переписать:
(14)
Теперь нам надо решить уравнение (14) относительно . Для этого введем обозначение
(15)
Тогда
(16)
Или с учетом соотношения (7) можно записать:
(17)
Приравняем реальные и мнимые части в левой и правой частях уравнения и получим систему:
(18)
Рассмотрим систему подробнее. Гиперболический косинус никогда не обращается в ноль. Поэтому первое уравнение (18) можно записать:
(19)
Из второго уравнения, с учетом (19) можно заметить, что и тогда
(20)
Таким образом, мы рассчитали значения и в выражении (15). Теперь необходимо решить уравнение (15) относительно :
(21)
Откуда с учетом выражения (7) можно записать:
(22)
Тогда окончательно полюса квадрата модуля АЧХ фильтра Чебышева второго рода можно записать с учетом (19) и (20):
(23)
Для получения передаточной характеристики физически реализуемого фильтра необходимо чтобы все его нули и полюса располагались в левой полуплоскости. Тогда из всех полюсов фильтра Чебышева (23) необходимо выбрать только те, у которых , тогда все полюса фильтра Чебышева можно представить в виде:
(24)
Расположение нулей и полюсов фильтра Чебышева второго рода на комплексной плоскости представлено для фильтра четного и нечетного порядков при подавлении в полосе заграждения равном 30 дБ показано на рисунках 2 и 3.

Для просмотра SVG графики Вам необходимо обновить браузер
Рисунок 2: Расположение нулей и полюсов фильтра Чебышева второго рода 8-го порядка

Для просмотра SVG графики Вам необходимо обновить браузер
Рисунок 3: Расположение нулей и полюсов фильтра Чебышева второго рода 9-го порядка
Красными крестиками обозначены полюса фильтра, а синими кружочками — нули. Видно, что у фильтра нечетного порядка имеется чисто вещественные полюса. Обратите внимание, что нули и полюса отображены в одинаковом масштабе, что привело к тому, что не все нули фильтра нашли отражение на рисунках 2 и 3.

Передаточная характеристика фильтра Чебышева второго рода
Зная нули и полюса фильтра Чебышева второго рода, передаточная характеристика будет иметь вид:
(25)
Для представления передаточной характеристики фильтра Чебышева второго рода при помощи биквадратной формы заметим, что в случае нечетного порядка при получим не кратный вещественный полюс. При остальных полюса будут комплексно-сопряженные. Тогда для любого , где может принимать значения 0 или 1 передаточную функцию фильтра Чебышева второго рода можно записать через биквадратную форму:
(26)
Тогда, коэффициент передачи на нулевой частоте фильтра при равен:
(27)
На рисунках 4 - 9 показаны АЧХ , ФЧХ и групповая задержка фильтров Чебышева второго рода 8-го и 9-го порядков с подавлением в полосе заграждения равным 30 дБ (нули и полюса данных фильтров показаны на рисунках 2 и 3).

Для просмотра SVG графики Вам необходимо обновить браузер
Рисунок 4: АЧХ фильтра Чебышева второго рода 8-го порядка

Для просмотра SVG графики Вам необходимо обновить браузер
Рисунок 4: ФЧХ фильтра Чебышева второго рода 8-го порядка

Для просмотра SVG графики Вам необходимо обновить браузер
Рисунок 4: Групповая задержка фильтра Чебышева второго рода 8-го порядка

Для просмотра SVG графики Вам необходимо обновить браузер
Рисунок 4: АЧХ фильтра Чебышева второго рода 9-го порядка

Для просмотра SVG графики Вам необходимо обновить браузер
Рисунок 4: ФЧХ фильтра Чебышева второго рода 9-го порядка

Для просмотра SVG графики Вам необходимо обновить браузер
Рисунок 4: Групповая задержка фильтра Чебышева второго рода 9-го порядка
Из графиков хорошо видно, что АЧХ фильтра Чебышева второго рода имеет гладкую АЧХ в полосе пропускания и равноволновые колебания в полосе заграждения, обеспечивая тем самым заданный уровень подавления . При этом можно заметить, что АЧХ при четном порядке фильтра при увеличении частоты стремится к значению , а при нечетном порядке фильтра к нулю.

Пример расчета фильтра Чебышева второго рода
Рассчитаем нормированный ФНЧ Чебышева второго рода исходя из следующего коридора АЧХ:
(28)
Шаг 1. Из выражения (1) рассчитаем параметры коридора:
(29)
Шаг 2. Рассчитаем порядок фильтра удовлетворяющий заданному коридору согласно выражению (4):
(30)
Округляем в большую сторону, таким образом порядок фильтра .
Шаг 3. Рассчитываем передаточную характеристику на основе биквадратной формы согласно выражению (26). Для этого произведем предварительные расчеты.
Порядок фильтр , откуда . Параметр равен:
(31)
Параметры где принимает значения 1 или 2 равны:
(32)
Тогда нули передаточной функции равны:
(33)
Рассчитаем параметры и , а также рассчитаем :
(34)
Обратим внимание, что и требуется также рассчитать параметр :
(35)
Рассчитаем нормировочный коэффициент согласно выражению (27):
(36)
Теперь можно рассчитать передаточную характеристику фильтра:
(37)
На этом расчет фильтра Чебышева второго рода можно считать оконченным.
Подставив в выражение для передаточной характеристики получим комплексный коэффициент передачи из которого можно рассчитать АЧХ, ФЧХ и групповую задержку фильтра. На рисунках 10 - 12 показаны графики АЧХ, ФЧХ и групповой задержки рассчитанного фильтра

Для просмотра SVG графики Вам необходимо обновить браузер
Рисунок 10: АЧХ рассчитанного фильтра

Для просмотра SVG графики Вам необходимо обновить браузер
Рисунок 11: ФЧХ рассчитанного фильтра

Для просмотра SVG графики Вам необходимо обновить браузер
Рисунок 12: Групповая задержка рассчитанного фильтра
На графике АЧХ серым цветом отмечен заданный коридор в который помещается АЧХ рассчитанного фильтра.
Как видно из рисунка фильтр полностью укладывается в заданный коридор АЧХ.

Выводы
В данной статье мы рассмотрели расчет аналогового нормированного ФНЧ Чебышева второго рода. Были получены выражения для нулей и полюсов фильтра Чебышева второго рода, показано геометрическое расположение нулей и полюсов на комплексной плоскости. Приведено выражение для передаточной характеристики фильтра Чебышева второго рода на основе биквадратной формы для четного и нечетного порядков фильтра. Показан вид АЧХ фильтра Чебышева второго рода и рассмотрен пример расчета фильтра по заданному коридору АЧХ.



Система Orphus
Любое копирование материалов сайта без разрешения автора запрещено.
Разработка и дизайн Бахурин Сергей.