Расчет аналогового нормированного ФНЧ Чебышева первого рода

Содержание

Введение. Исходные данные и основные соотношения при аппроксимации АЧХ фильтра
В предыдущей статье мы рассмотрели основные свойства полиномов комплексной переменной и передаточной функции аналогового фильтра . Также была рассмотрена постановка задачи расчета фильтра, и проанализированы основные виды аппроксимирующих полиномов АЧХ.
В данной статье мы рассмотрим расчет фильтра Чебышева первого рода по заданному коридору АЧХ, показанному на рисунке 1.


Рисунок 1: Идеальная и реальная АЧХ ФНЧ

Приведем основные соотношения связывающие параметры аппроксимации АЧХ (данные соотношения были подробно рассмотрены здесь):
(1)
Аппроксимация АЧХ ФНЧ Чебышева первого рода представляется в виде:
(2)
где - многочлен Чебышева.
Порядок фильтра Чебышева первого рода рассчитывается из уравнения:
(3)
Решение которого имеет вид:


(4)

где - арккосинус гиперболический.
Все вышеприведенные соотношения уже были рассмотрены ранее. Мы привели их еще раз без пояснений, и они нам будут необходимы при рассечет фильтра Чебышева первого рода.

Порядок расчета фильтра Чебышева первого рода
Итак приступим. Исходными данными для расчета фильтра Чебышева первого рода служат: частота среза , переходная полоса, задаваемая , допустимое искажение в полосе пропускания и требуемое подавление в полосе заграждения .
Первый шаг: из выражения (1) рассчитываются параметры , , и .
Второй шаг: расчет требуемого порядка фильтра согласно выражению (4).
Третий шаг, на котором мы остановимся более подробно: расчет передаточной функции фильтра Чебышева.

Нули и полюса фильтра Чебышева первого рода
Предварительно мы вспомним некоторые свойства тригонометрических функций комплексного переменного. Во первых, рассмотрим косинус комплексной переменной . Представим как косинус суммы и получим:
(5)
Учтем, что тригонометрические функции связаны с гиперболическими следующими соотношениями:
(6)
Тогда окончательно можно представить выражение (5), с учетом выражения (6) и:
(7)
Соотношение (7) мы будем широко использовать в дальнейшем. Также вспомним следующее соотношение справедливое для произведения комплексно-споряженных чисел:
(8)
Данное соотношение нам также очень пригодится.
Итак приступим к расчету передаточной функции фильтра Чебышева первого рода. Как и в случае с фильтром Баттерворта, для фильтра Чебышева мы рассчитаем нули и полюса квадрата модуля переаточной характеристики, выберем из них только те, что лежат в левой полуплоскости (с отрицательной реальной частью) для обеспечения физической реализуемости и устойчивости фильтра, и после представим передаточную функцию фильтра на основе биквадратной формы.
Как и в случае фильтра Баттерворта, фильтр Чебышева не имеет нулей, так как ни при каких комплексных значениях квадрат модуля передаточной функции фильтра Чебышева (2) не обращается в ноль. Для расчета полюсов фильтра Чебышева приравняем знаменатель (2) к нулю:
(9)
Учтем что , тогда уравнение (9) перепишется к виду:
(10)
Учтем (8), тогда выражение (10) можно представить в виде произведения комплексно-сопряженных выражений:
(11)
Уравнение (11) можно переписать:
(12)
Теперь нам надо решить уравнение (12) относительно . Для этого введем обозначение
(13)
тогда
(14)
Или с учетом соотношения (7) можно записать:
(15)
Приравняем реальные и мнимые слагаемые в левой и правой частях уравнения и получим систему:
(16)
Рассмотрим систему подробнее. Гиперболический косинус никогда не обращается в ноль. Поэтому первое уравнение (16) можно записать:
(17)
Из второго уравнения, с учетом (17) можно заметить, что и тогда
(18)
Таким образом, мы рассчитали значения и в выражении (13). Теперь необходимо решить уравнение (13) относительно .
(19)
Откуда с учетом выражения (7) можно записать:
(20)
Тогда окончательно полюса квадрата модуля АЧХ фильтра Чебышева первого рода можно записать с учетом (17) и (18):
(21)
Для анализа расположения полюсов фильтра Чебышева рассмотрим соотношение:
(22)
Тогда вспомнив каноническое уравнение эллипса :
(23)
можно сделать вывод о том, что полюса фильтра Чебышева первого рода расположены на эллипсе с осями:
(24)
Графически это показано на рисунке 2 для и на рисунке 3 для .

Рисунок 2: Расположение полюсов квадрата модуля АЧХ фильтра Чебышева первого рода при

Рисунок 3: Расположение полюсов квадрата модуля АЧХ фильтра Чебышева первого рода при
Красными крестиками показаны полюса фильтра Чебышева. Зеленым показана окружность радиуса и полюса фильтра Баттерворта при и при неравномерности фильтра Баттерворта равной . Аналогично синим показана окружность радиуса и полюса фильтра Баттерворта при и и при неравномерности фильтра Баттерворта равной . Синими и зелеными линиями показано геометрическое расположение полюсов фильтра Чебышева первого рода, относительно полюсов « большого » и « малого » фильтров Баттерворта. Важно отметить, что если малую ось эллипса приближать к большой оси, то фильтр Чебышева будет приближаться к фильтру Баттерворта. Если эллипс на котором расположены полюса фильтра Чебышева превратить в окружность, то фильтр Чебышева автоматически переходит в фильтр Баттерворта. Другими словами если , то согласно (24) необходимо чтобы
(25)
Таким образом при уменьшении неравномерности в полосе пропускания фильтра Чебышева первого рода, его характеристика приближается к характеристики фильтра Баттерворта.

Передаточная характеристика фильтра Чебышева первого рода
Для получения передаточной характеристики физически реализуемого фильтра необходимо, чтобы все его нули и полюса располагались в левой полуплоскости. Тогда из всех полюсов фильтра Чебышева (21) необходимо выбрать только те, у которых , тогда все полюса фильтра Чебышева можно представить в виде:
(26)
Передаточная характеристика фильтра Чебышева первого рода будет иметь вид:
(27)
Для представления передаточной характеристики фильтра Чебышева первого рода при помощи биквадратной формы заметим, что в случае нечетного порядка при получим некратный вещественный полюс (смотри рисунок 2). При остальных полюса будут комплексно-сопряженные. Тогда для любого , где может принимать значения 0 или 1 передаточную функцию фильтра Чебышева первого рода можно записать через биквадратную форму:
(28)
Тогда, коэффициент передачи на нулевой частоте фильтра при равен:
(29)
Кроме того при нормировке необходимо учесть, что при нечетных порядках фильтра, многочлен Чебышева и соответственно согласно выражению (2), а при четных порядках фильтра, многочлен Чебышева и соответственно , таким образом, при четном порядке фильтра, его коэффициент передачи на нулевой частоте должен быть меньше единицы и равен . С учетом этого передаточная функция нормированного фильтра Чебышева 1 рода для любого имеет вид:
(30)
На рисунках 4 - 9 показаны АЧХ , ФЧХ и групповая задержка фильтров Чебышева первого рода 4-го и 5-го порядков с неравномерностью АЧХ в полосе пропускания 2 дБ.


Для просмотра SVG графики Вам необходимо обновить браузер
Рисунок 4: АЧХ фильтра Чебышева первого рода 4-го порядка

Для просмотра SVG графики Вам необходимо обновить браузер
Рисунок 5: ФЧХ фильтра Чебышева первого рода 4-го порядка

Для просмотра SVG графики Вам необходимо обновить браузер
Рисунок 6: Групповая задержка фильтра Чебышева первого рода 4-го порядка



Для просмотра SVG графики Вам необходимо обновить браузер
Рисунок 7: АЧХ фильтра Чебышева первого рода 5-го порядка

Для просмотра SVG графики Вам необходимо обновить браузер
Рисунок 8: ФЧХ фильтра Чебышева первого рода 5-го порядка

Для просмотра SVG графики Вам необходимо обновить браузер
Рисунок 9: Групповая задержка фильтра Чебышева первого рода 5-го порядка

Из графиков хорошо видно, что АЧХ фильтра Чебышева имеет равноволновые колебания в полосе пропускания и монотонно убывает в полосе заграждения.

Пример расчета фильтра Чебышева первого рода
Рассчитаем нормированный ФНЧ Чебышева первого рода исходя из следующего коридора АЧХ:
(31)
Шаг 1. Из выражения (1) рассчитаем параметры коридора:
(32)
Шаг 2. Рассчитаем порядок фильтра удовлетворяющий заданному коридору согласно выражению (4):
(33)
Округляем в большую сторону, таким образом порядок фильтра .
Шаг 3. Рассчитываем передаточную характеристику на основе биквадратной формы согласно выражению (30). Для этого произведем предварительные расчеты.
Порядок фильтр , откуда . Параметр равен:
(34)
Параметры где принимает значения 1 или 2 равны:
(35)
Рассчитаем параметры и , а также рассчитаем :
(36)
Обратим внимание, что и рассчитывать параметр не требуется. Теперь можно рассчитать передаточную характеристику фильтра:
(37)
После раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых получим передаточную характеристику в окончательном виде:
(38)
На этом расчет фильтра Чебышева первого рода можно считать оконченным.
Подставив в выражение для передаточной характеристики получим комплексный коэффициент передачи из которого можно рассчитать АЧХ, ФЧХ и групповую задержку фильтра. На рисунках 10 - 12 показаны графики АЧХ, ФЧХ и групповой задержки рассчитанного фильтра.


Для просмотра SVG графики Вам необходимо обновить браузер
Рисунок 10: АЧХ рассчитанного фильтра

Для просмотра SVG графики Вам необходимо обновить браузер
Рисунок 11: ФЧХ рассчитанного фильтра

Для просмотра SVG графики Вам необходимо обновить браузер
Рисунок 12: Групповая задержка рассчитанного фильтра

На графике АЧХ серым цветом отмечен заданный коридор в который помещается АЧХ рассчитанного фильтра. Как видно из рисунка 10, АЧХ полностью укладывается в заданный коридор АЧХ.

Выводы
В данной статье мы рассмотрели расчет аналогового нормированного ФНЧ Чебышева первого рода. Были получены выражения для нулей и полюсов фильтра Чебышева первого рода, показано геометрическое расположение нулей и полюсов на комплексной плоскости. Приведено выражение для передаточной характеристики фильтра Чебышева первого рода на основе биквадратной формы для четного и нечетного порядков фильтра. Показан вид АЧХ фильтра Чебышева первого рода и рассмотрен пример расчета фильтра по заданному коридору АЧХ.



Система Orphus
Любое копирование материалов сайта без разрешения автора запрещено.
Разработка и дизайн Бахурин Сергей.