Расчет аналогового нормированного фильтра нижних частот Баттерворта

Содержание

Введение. Исходные данные для расчета фильтра Баттерворта. Основные соотношения при аппроксимации АЧХ фильтра
В предыдущей статье мы рассмотрели основные свойства полиномов комплексной переменной и передаточной функции аналогового фильтра . Также была рассмотрена постановка задачи расчета фильтра, и проанализированы основные виды аппроксимирующих полиномов АЧХ фильтра.
В данной статье мы рассмотрим расчет фильтра Баттерворта по заданному коридору АЧХ, показанному на рисунке 1.


Рисунок 1: Идеальная и реальная АЧХ ФНЧ

Приведем основные соотношения связывающие параметры аппроксимации АЧХ (данные соотношения были подробно рассмотрены здесь):
(1)
Аппроксимация АЧХ ФНЧ Баттерворта представляется в виде:
(2)
Порядок фильтра Баттерворта рассчитывается из уравнения:
(3)
Прологарифмируем правую и левую части уравнения и получим:
(4)
Все вышеприведенные соотношения уже были рассмотрены ранее. Мы привели их еще раз без пояснений, и они нам будут необходимы при рассечет фильтра Баттерворта.

Порядок расчета фильтра Баттерворта
Итак приступим. Исходными данными для расчета фильтра Баттерворта служат: частота среза , переходная полоса, задаваемая , допустимое искажение в полосе пропускания и требуемое подавление в полосе заграждения .
Первый шаг: из выражения (1) рассчитываются параметры , , и .
Второй шаг расчет требуемого порядка фильтра согласно выражению (4).
Третий шаг расчет передаточной функции фильтра . Здесь мы остановимся подробнее.

Нули и полюса фильтра Баттерворта
Для расчета нулей и полюсов подставим в выражение аппроксимации АЧХ (2) , тогда
(5)
Очевидно, что ни при каких конечных комплексных выражение (5) не равно нулю, другими словами, фильтр Баттерворта не имеет нулей. Для расчета полюсов фильтра Баттерворта приравняем знаменатель к нулю:
(6)
Рассмотрим отдельно четные и нечетные . При четных имеем:
(7)
Представим в правой части через комплексную экспоненту , , тогда
(8)
Прологарифмируем левую и правую части уравнения получим:
(9)
Преобразуем:
(10)
тогда:
(11)
И окончательно можно записать выражения для полюсов передаточной функции при четных :
(12)
При нечетных из выражения (6) имеем:
(13)
Представим в правой части через комплексную экспоненту , , тогда
(14)
Прологарифмируем левую и правую части уравнения получим:
(15)
Преобразуем:
(16)
тогда:
(17)
И окончательно можно записать выражения для полюсов передаточной функции при нечетных :
(18)
На рисунке 2 показаны расположения полюсов квадрата модуля передаточной функции, заданной выражением (5) при четном (слева)и нечетном (справа) порядках фильтра Баттерворта.


Рисунок 2: Расположение полюсов квадрата модуля передаточной функции при четном и нечетном порядках фильтра Баттерворта

Все полюса квадрата модуля АЧХ фильтра Баттерворта расположены на окружности радиуса , и отстоят друг от друга на угол . При все полюса расположены на единичной окружности.

Расчет передаточной характеристики фильтра Баттерворта
Ранее говорилось, что для получения устойчивого и физически реализуемого фильтра необходимо, чтобы все нули и полюса располагались в левой полуплоскости комплексной плоскости. Тогда для расчета передаточной функции фильтра Баттерворта необходимо из всех полюсов выбрать только те, что лежат в левой полуплоскости. Тогда все полюса расположенные в левой полуплоскости могут быть записаны как для четного , так и для нечетного (смотри рисунок 2):
(19)
Или перепишем в тригонометрической форме:
(20)
Таким образом мы задали все полюса передаточной функции фильтра Баттерворта порядка . Тогда передаточная функция фильтра Баттерворта может быть представлена :
(21)
Обратим внимание, что все полюса передаточной функции фильтра Баттерворта четного порядка (смотри рисунок 2) представляют собой комплексно-сопряженные пары, а у фильтра нечетного порядка есть один вещественный полюс. Тогда можно представить передаточную функцию фильтра Баттерворта при помощи биквадратной формы. Для четного :
(22)
Тогда окончательно можно записать:
(23)
В случае нечетного имеем дополнительный вещественный полюс . Тогда для нечетного можно представить передаточную функцию фильтра Баттерворта при помощи биквадратной формы как:
(24)
Окончательно можно объединить выражения (23) и (24). Для любого целого ( может принимать значения 0 или 1) передаточную функцию фильтра Баттерворта можно представить в виде:
(25)
Коэффициент передачи фильтра Баттерворта на нулевой частоте равен:
(26)
Для нормировки коэффициента передачи фильтра Баттерворта на нулевой частоте необходимо передаточную функцию фильтра Баттерворта (25) разделить на . Тогда получим характеристику нормированного ФНЧ Баттерворта в виде:
(27)
Необходимо отметить, что при , и без нормировки, при этом соответствует . При этом выражение для передаточной характеристики фильтра (27) преобразуется к виду:
(28)
Такая форма записи (28) передаточной характеристики получила широкое распространение ввиду того, что не требуется нормировки. Однако выражение (27) позволяет регулировать коэффициент передачи фильтра на частоте среза и является более общей.

Пример расчета фильтра Баттерворта
Рассчитаем нормированный ФНЧ Баттерворта при следующих параметрах коридора АЧХ:
(29)
Шаг 1
Рассчитываем все необходимые параметры исходя из выражения (1):
(30)
Шаг 2
Рассчитываем порядок фильтра согласно выражению (4):
(31)
Округляем до ближайшего целого в большую сторону, получаем, что заданному коридору удовлетворяет .
Шаг 3
Рассчитываем передаточную характеристику согласно выражению (27).
При этом значит , . Рассчитываем
(32)
Рассчитываем значения . В нашем случае , поэтому будет только одно значение равное :
(33)
Тогда передаточную характеристику фильтра можно записать:
(34)
На этом расчет фильтра Баттерворта окончен
Комплексный коэффициент передачи полученного фильтра равен:
(35)
На рисунках 3 - 5 показаны АЧХ , ФЧХ и групповая задержка рассчитанного фильтра Баттерворта третьего порядка.
Для просмотра SVG графики Вам необходимо обновить браузер Рисунок 3: АЧХ рассчитанного фильтра Баттерворта
Для просмотра SVG графики Вам необходимо обновить браузер Рисунок 4: ФЧХ рассчитанного фильтра Баттерворта
Для просмотра SVG графики Вам необходимо обновить браузер Рисунок 5: Групповая задержка рассчитанного фильтра Баттерворта

На графике АЧХ (рисунок 3) серым отмечен заданный коридор АЧХ. Обратите внимание, что по оси абсцисс частота представлена в логарифмическом масштабе. Видно что полученная АЧХ помещается в коридор даже с запасом, так как при расчете использовался порядок равный 3 вместо 2.56545 (дробный порядок не может быть).

Выводы
Таким образом, в данной статье мы рассмотрели порядок расчета передаточной функции аналогового ФНЧ Баттерворта и привели пример расчета фильтра по заданному коридору АЧХ.



Система Orphus
Любое копирование материалов сайта без разрешения автора запрещено.
Разработка и дизайн Бахурин Сергей.