Расчет аналогового фильтра. Постановка задачи и способы аппроксимации АЧХ идеального нормированного ФНЧ

Содержание

Типы фильтров. Параметры аппроксимации идеального ФНЧ. Коридор АЧХ
В предыдущей статье мы рассмотрели основные свойства полиномов комплексной переменной и передаточной функции аналогового фильтра . Теперь рассмотрим постановку задачи расчета фильтра.
По форме АЧХ различают фильтры нижних частот (ФНЧ) , фильтры верхних частот (ФВЧ), полосовые фильтры (ПФ) и режекторные фильтры (РФ). Примеры АЧХ для приведенных типов фильтров показаны на рисунке 1.


Рисунок 1: Примеры АЧХ различных фильтров

Рассмотрим постановку задачи расчета фильтра на примере ФНЧ. В идеале мы бы хотели получить фильтр, который пропускает без искажений все частоты ниже и полностью подавляет все частоты выше . Такой ФНЧ называют идеальным, и он не реализуем на практике. Реализуемые же ФНЧ всегда вносят какие-то искажения в полосе пропускания и не до конца подавляет в полосе заграждения. Мы должны мирится с этим и научится регулировать искажения сигнала и подавление при использовании ФНЧ. На рисунке 2 показаны идеальная и реальная АЧХ ФНЧ. Синим показана АЧХ идеального фильтра, красным - реального.


Рисунок 2: Идеальная и реальная АЧХ ФНЧ

Полоса частот от 0 до называется полосой пропускания ФНЧ, полоса частот от и выше называется полосой подавления или полосой заграждения. Полоса между и называется переходной полосой фильтра. Параметр
(1)
определяет максимальное искажение сигнала в полосе пропускания, а параметр
(2)
задает требуемое подавление в полосе заграждения. Таким образом, получили такой «изогнутый коридор» в который должна поместиться АЧХ нашего фильтра. При этом, чем «коридор Уже», тем параметр меньше, а параметр больше. Принято искажение в полосе пропускания и требуемое подавление выражать в децибелах, тогда:
(3)
Откуда можно выразить:
(4)
Таким образом, для расчета фильтра достаточно задать «коридор АЧХ» путем задания вышеприведенных параметров.
Часто при расчете фильтра используют еще два параметра, которые и мы тоже будем в дальнейшем использовать:
(5)
Параметр определяет селективные свойства фильтра. Если сужать переходную полосу, то будет стремиться к единице. С другой стороны параметр определяет степень подавления фильтра с учетом вносимых искажений. Так, если коэффициент подавления в полосе заграждения растет, то стремиться к нулю. Аналогично стремиться к нулю если коэффициент неравномерности в полосе пропускания стремиться к нулю.

Порядок фильтра
Введем понятие порядка фильтра. Порядок фильтра можно определить как максимальное количество нулей и полюсов передаточной функции фильтра . Также можно сказать что порядок фильтра задается максимальной степенью полинома числителя и знаменателя передаточной функции фильтра.
Порядок фильтра можно рассчитать из уравнения при заданных параметрах и :
(6)
где - функция, аппроксимирующая квадрат модуля АЧХ. При заданном « коридоре АЧХ » уравнение (6) необходимо разрешить относительно . Чуть ниже мы поясним уравнение (6).
Необходимо отметить, что для сужения коридора АЧХ необходимо увеличивать порядок фильтра, однако при практической реализации от порядка фильтра зависит количество реактивных элементов (емкостей и индуктивностей) в его схеме. Таким образом, увеличение порядка фильтра приводит к усложнению самого фильтра, удорожанию и что самое важное, фильтр с увеличением порядка становится очень чувствительным к разбросу номиналов его компонент и требует точной прецизионной настройки.
Исходя из вышесказанного, можно предложить две постановки задачи. Первая постановка необходимо задать «коридор АЧХ» и, исходя из коридора и выбранного способа аппроксимации идеального ФНЧ, рассчитывать порядок фильтра согласно (6) и, собственно, сам фильтр. Вторая постановка задачи заключается в том, что задается порядок фильтра и некоторые наиболее важные параметры «коридора АЧХ», например подавление в полосе заграждения и частота среза, а остальные параметры не ограничивают. Так, на практике, как правило, не накладывают ограничения на переходную полосу фильтра. Вторая постановка задачи расчета фильтра нашла наибольшее распространение. Кроме того при различном способе аппроксимации АЧХ ограничивают различные параметры «коридора».

Аппроксимация АЧХ фильтров общие замечания
Аппроксимация АЧХ нормированного ФНЧ представляется в виде:
(7)
где - аппроксимирующая функция порядка . Таким образом, для аппроксимации необходимо задать порядок нормированного фильтра. Нормированный фильтр называется потому что его частота среза . Основными способами аппроксимации являются:
  • Аппроксимация по Баттерворту, при которой .
  • Аппроксимация по Чебышеву: , - многочлен Чебышева -го порядка.
  • Аппроксимация по Чебышеву второго рода (инверсные фильтры Чебышева): .
  • Аппроксимация по Кауэру (эллиптическая аппроксимация): , - эллиптическая дробно-рациональная функция.
Для того чтобы АЧХ фильтра разместилась в заданном коридоре необходимо, чтобы выполнялись следующие условия:
(8)
Очевидно, что первое условие будет выполнено, если
(9)
Чтобы выполнилось второе условие, необходимо чтобы порядок фильтра обеспечивал переходную полосу заданной ширины и с заданным подавлением, т.е.
(10)
Откуда можно выразить:
(11)
Таким образом, мы получили уравнение (6), решая которое относительно можно рассчитать требуемый порядок фильтра, при котором АЧХ фильтра разместится в заданном коридоре. При этом рассчитанное округляется в большую сторону до ближайшего целого.
Рассмотрим подробнее аппроксимацию АЧХ нормированного ФНЧ.

Аппроксимация по Баттерворту
Квадрат АЧХ фильтра задается выражением:
(12)
На рисунках 3 и 4 показаны аппроксимирующая функция и квадрат модуля АЧХ при порядке фильтра .
Для просмотра SVG графики Вам необходимо обновить браузер
Рисунок 3: Аппроксимирующая функция фильтра Баттерворта 4-го порядка
Для просмотра SVG графики Вам необходимо обновить браузер
Рисунок 4: Квадрат модуля АЧХ фильтров Баттерворта 4 -го порядка
Фильтры Баттерворта являются фильтрами с максимально-гладкой АЧХ. Скорость спада квадрата модуля АЧХ составляет .
При аппроксимации по Баттервотру, очень часто задают параметр , и на частоте (-3 дБ). Тогда для расчета нормированного ФНЧ Баттерворта при задается только порядок фильтра. Остальные параметры, такие как неравномерность в полосе пропускания и уровень подавлениия в полосе заграждения не задаются.

Аппроксимация по Чебышеву первого рода
В случае аппроксимации по Чебышеву, функция , где - многочлен Чебышева порядка . Тогда квадрат модуля частотной характеристики при аппроксимации по Чебышеву можно записать:
(13)
Параметр задает уровень пульсаций в полосе пропускания фильтра и рассчитывается исходя из заданной неравномерности АЧХ в полосе пропускания согласно выражению (4).
На рисунках 5 и 6 показаны аппроксимирующая функция и квадрат модуля АЧХ фильтра Чебышева первого рода порядка при (неравномерность АЧХ фильтра в полосе пропускания ). Обратите внимание, что аппроксимирующая функция показана в логарифмическом масштабе.
Для просмотра SVG графики Вам необходимо обновить браузер
Рисунок 5: Аппроксимирующая функция фильтра Чебышева первого рода 4-го порядка
Для просмотра SVG графики Вам необходимо обновить браузер
Рисунок 6: Квадрат модуля АЧХ фильтра Чебышева первого рода 4-го порядка
Хорошо видно, что в полосе пропускания фильтра Чебышева первого рода совершает равноволновые колебания, в отличии от фильтра Баттерворта, при этом скорость спада АЧХ фильтра Чебышева первого рода выше чем у фильтра Баттерворта.

Аппроксимация по Чебышеву второго рода
Ранее при аппроксимации АЧХ многочленами Чебышева задавалась допустимая неравномерность АЧХ фильтров в полосе пропускания при помощи параметра . Однако можно также задать требуемый уровень подавления в полосе заграждения при помощи параметра , тогда получим фильтры Чебышева второго рода или как их еще называют инверсные фильтры Чебышева. Аппроксимирующая функция в этом случае задается выражением , а квадрат модуля АЧХ представляется в виде:
(14)
Как уже было сказано, задает уровень подавления в полосе заграждения фильтра согласно (4). На рисунках показаны аппроксимирующая функция и квадрат модуля АЧХ фильтра Чебышева второго рода порядка при (уровень подавления в полосе заграждения равен ). Обратите внимание, что аппроксимирующая функция показана в линейном масштабе.
Для просмотра SVG графики Вам необходимо обновить браузер
Рисунок 7: Аппроксимирующая функция фильтра Чебышева второго рода 4-го порядка
Для просмотра SVG графики Вам необходимо обновить браузер
Рисунок 8: Квадрат модуля АЧХ фильтра Чебышева второго рода 4-го порядка
Если нормированный фильтр Чебышева первого рода на частоте «пропускает» сигнал, т.к. Близко к единице (0 дБ), то нормированный фильтр Чебышева второго рода на частоте «подавляет» сигнал, т.к. . Фильтры Чебышева второго рода целесообразно использовать для расчета режекторных (полосозаграждающих) фильтров с заданным коэффициентом подавления.

Аппроксимация по Кауэру. Эллиптический фильтр
Можно заметить, что АЧХ фильтра Чебышева первого рода носит колебательный характер в полосе пропускания и максимально-гладкая в полосе заграждения, в то время как АЧХ фильтра Чебышева второго рода наоборот колеблется в полосе заграждения и максимально-гладкая в полосе пропускания. Однако есть еще один класс фильтров АЧХ которых носит колебательный характер как в полосе пропускания, так и в полосе подавления. Это эллиптические фильтры, или как их еще называют фильтры Кауэра (в отечественной литературе часто их еще называют фильтрами Золотарева-Кауэра). Аппроксимирующая функция фильтров Кауэра представляет собой эллиптическую дробно-рациональную функцию , зависящую от параметра выражения (5). Квадрат модуля АЧХ фильтра Кауэра представляет собой:
(15)
Вид аппроксимирующей функции эллиптического фильтра 4-го порядка и квадрата модуля АЧХ показаны на рисунках 9 и 10. Параметр (неравномерность АЧХ фильтра в полосе пропускания ), а параметр задает уровень подавления в полосе заграждения равный . Обратите внимание, что аппроксимирующая функция эллиптического фильтра показана в логарифмическом масштабе.
Для просмотра SVG графики Вам необходимо обновить браузер
Рисунок 9: Аппроксимирующая функция эллиптического фильтра 4-го порядка
Для просмотра SVG графики Вам необходимо обновить браузер

Рисунок 10: Квадрат модуля АЧХ эллиптического фильтра 4-го порядка
Если увеличивать до бесконечности уровень подавления в полосе заграждения , т.е. устремить к нулю, то дробно-рациональная эллиптическая функция переходит в многочлен Чебышева (подробнее об этом читай здесь), а фильтр Кауэра соответственно в фильтр Чебышева первого рода.
Обобщим все вышесказанное. Фильтр Баттерворта обладает самой широкой переходной полосой среди всех фильтров, но у него максимально-гладкая АЧХ. Внесение в АЧХ фильтра Баттерворта колебаний приводит к фильтрам Чебышева, переходная полоса которых Уже чем у фильтра Баттерворта. Так равноволновые колебания в полосе пропускания приводят к фильтрам Чебышева первого рода, а равноволновые колебания в полосе заграждения к фильтрам Чебышева второго рода. Внесение равноволновых колебаний как в полосу пропускания, так и в полосу заграждения АЧХ приводит к эллиптическому фильтру с минимальной переходной полосой. При этом, как мы заметили, для разной аппроксимации задаются различные исходные данные для расчета. Это хорошо видно из таблицы ниже:

Тип фильтра

Порядок фильтра

Неравномерность в полосе пропускания

Уровень подавления в полосе заграждения

Баттерворта

Да

Нет

Нет

Чебышева первого рода

Да

Да

Нет

Чебышева второго рода

Да

Нет

Да

Эллиптический

Да

Да

Да

Кроме того, можно рассчитать любой фильтр путем задания «коридора АЧХ» и расчета порядка фильтра через уравнение (6). Решим уравнение (6) для заданного коридора АЧХ для каждого из фильтров.

Сравнение порядков фильтров при различных способах аппроксимации АЧХ. Решение уравнения порядка фильтра
Порядок фильтра Баттерворта рассчитывается из уравнения:
(16)
Прологарифмируем правую и левую части уравнения и получим:
(17)
Порядок фильтра Чебышева как первого рода, так и второго рассчитывается из уравнения:
(18)
Откуда можно выразить:
(19)
Обратите внимание, что под арккосинусами оба отношения больше единицы, тогда арккосинус аргумента большего единицы возвращает комплексное значение, при этом известно, что арккосинус любого комплексного аргумента равен:
(20)
Если вещественное, но больше единицы, то арккосинус чисто мнимый и равен:
(21)
Окончательно для фильтра Чебышева первого рода можно записать:
(22)
Очень часто вместо выражения (22) в литературе приводят следующую формулу, которая также является справедливой:
(23)
где - арккосинус гиперболический.
Порядок эллиптического фильтра можно рассчитать из уравнения:


(24)

где - полный эллиптический интеграл, а - полный комплиментарный эллиптический интеграл (подробнее здесь), а и рассчитываются согласно (5).
В таблице ниже приведены порядки фильтров Баттерворта, Чебышева и Кауэра для некоторых параметров коридора АЧХ.

Параметры коридора АЧХ

Требуемый порядок фильтра

Баттерворта

Чебышева

Эллиптический (Кауэра)

1.0
1.0
1.0
1.0
1.0
1.0
1.5
1.4
1.3
1.2
1.1
1.05
0.8
0.85
0.87
0.9
0.92
0.95
0.2
0.1
0.07
0.05
0.02
0.01
0.66667
0.71429
0.76923
0.83333
0.90909
0.95238
0.15309
0.06229
0.03977
0.02425
0.00852
0.00329
5
9
13
21
50
118
3
5
6
8
13
21
2
3
4
4
6
8

Из таблицы очень хорошо видно, что сужение переходной полосы, когда приближается к и уменьшение неравномерности в полосе пропускания с одновременным ростом подавления в полосе заграждения приводит к очень резкому росту требуемого порядка фильтра Баттерворта. При этом порядок фильтра Чебышева растет медленнее, однако и ему далеко до эллиптического фильтра, который обеспечивает минимальный порядок при заданном коридоре АЧХ. Из таблицы хорошо видно, что переход от фильтра Баттерворта к фильтру Чебышева позволяет сократить порядок фильтра более чем в 5 раз, а использование эллиптического фильтра более чем в 10 раз! Так вместо фильтра Баттерворта 118 порядка можно поставить эллиптический фильтр всего 8-го порядка без ухудшения характеристик фильтра.

Выводы
Таким образом, можно подвести итог. В данной статье мы рассмотрели постановку задачи расчета аналогового нормированного ФНЧ, произвели анализ различных способов аппроксимации АЧХ фильтра: аппроксимация по Баттерворту, по Чебышеву и по Кауэру. Получили решения уравнения порядка фильтра при заданном коридоре АЧХ для всех перечисленных способов аппроксимации фильтра. Проанализировав решение уравнения порядка фильтра для различных способов аппроксимации мы выяснили, что использование эллиптического фильтра, позволяет минимизировать порядок фильтра при заданном коридоре АЧХ.

Любые вопросы и пожелания вы можете оставить в гостевой книге, на форуме, или прислать по электронной почте admin@dsplib.ru


Система Orphus
Любое копирование материалов сайта без разрешения автора запрещено.
Разработка и дизайн Бахурин Сергей.