В данной
статье речь пойдет об эллиптических функциях Якоби, нашедших
применение при рассчете аналоговых и цифровых фильтров Кауэра.
Эллиптические функции довольно сложные, но я постараюсь пояснить их
как сам понимаю, может быть даже где-то допустив математические
вольности, поэтому математиков прошу не сердиться.
Эллиптический интеграл и его обращение
Итак
рассмотрим эллиптический интеграл:
(1)
Этот
интеграл зависит от двух параметров
-
верхний предел интегрирования и
- параметр изменяется в пределах от 0 до 1. Параметр
носит название эллиптического модуля. Можно заметить, что при
получим:
(2)
прямую
линию, а при
будем иметь точки разрыва при
Графики функции
при различных значениях параметра
представлены на рисунке 1.
Видно, что
при увеличении
прямая как бы «искажается»
и при
стремящимся к единице прямая вырождается в «ступеньки».
Обратите внимание, одному значению
соответствует только одно значение
(при фиксированном
),
так как все функции
монотонно возрастают.
Теперь
поменяв местами оси абсцисс и ординат на графике
мы получим другую зависимость:
или как говорят мы таким образом обратили эллиптический интеграл.
Графики функции
показаны на рисунке 2. Очевидно, что при
,
.
Рисунок 1: Функции
при различном
Рисунок 2: Функции
при различном
Эллиптические функции и их свойства
Теперь мы
готовы ввести понятия эллиптических функций.
(3)
Функция
носит название эллиптического синуса, а
- эллиптического косинуса. Обратим внимание на тот факт, что при
:
(4)
Т.е. при
эллиптические функции вырождаются в тригонометрические.
Графики
эллиптических функций показаны на рисунках 3-14.
Рисунок 3: Функция
при
Рисунок
4: Функция
при
Рисунок
5: Функция
при
Рисунок
6: Функция
при
Рисунок 7: Функция
при
Рисунок 8: Функция
при
Рисунок
9: Функция
при
Рисунок
10: Функция
при
Рисунок
11: Функция
при
Рисунок
12: Функция
при
Рисунок
13: Функция
при
Рисунок
14: Функция
при
Видно, что
эллиптические функции
и
при
практически не отличаются от тригонометрических функций, а функция
совершает незначительные колебания в районе единицы. Однако с ростом
эллиптические функции
и
становятся более «прямоугольными» по сравнению с
тригонометрическими функциями, а
совершает значительные колебания. Кроме того можно обратить внимание,
что с ростом
период эллиптических функций также растет. Для того чтобы период
эллиптических функций не менялся в зависимости от
вводят понятия полных эллиптических интегралов.
Полный и комплиментарный эллиптические интегралы
Полным
эллиптическим интегралом называется функция:
(5)
Также
вводят понятие комплиментарного эллиптического интеграла:
(6)
где
(7)
При
полный эллиптический интеграл
,
а
,
аналогично при
,
а
.
Графики
полных эллиптических интегралов
и
показаны на рисунках 15 и 16 синим и красным цветами соотвественно. На рисунке 16 ось абсцисс представляет
собой
и графики
и
становятся симметричными относительно
.
Рисунок
15: Полные эллиптические интегралы
Рисунок
16: Полные эллиптические интегралы от
Теперь
рассмотрим функции
.
При
мы получим функцию
,
т.е. синус с периодом равным 4. На интервале от -4 до 4 укладывается
ровно 2 периода синуса. Аналогично при
на интервале от -4 до 4 укладывается ровно 2 периода эллиптического
синуса
.
Это очень важное замечание. Графики функции
показаны на рисунке 18 при различных
.
Аналогично на рисунке 17 показаны графики
.
Рисунок
17: Функция
Рисунок
18: Функция
Видно что
период эллиптических функций
,
и
равен четырем и не меняется с ростом
.
Эллиптическая дробно-рациональная функция
Для начала
вспомним многочлены Чебышева:
(8)
Выражении
(8) можно переписать:
(9)
По
аналогии с многочленами Чебышева, эллиптическая дробно-рациональная
функция задается путем замены косинуса на эллиптическую функцию
:
(10)
Тогда
(11)
Очевидно,
что эллиптическая дробно-рациональная функция зависит от
.
Для
рассчета
согласно (11) требуется вычисление обратной эллиптической функции
,
что не совсем удобно, поскольку
возвращает комплексные значения при
.
Поэтому используют следующую форму записи эллиптической
дробно-рациональной функции, где
:
(12)
Исходя из
выражения (12) можно получить выражения для нулей и полюсов
эллиптической дробно-рациональной функции. Получим нули,
для этого найдем
при которых
:
(13)
Если
- нечетное, то
и еще один ноль будет при
.
Обратим внимание, что все нули по модулю меньше единицы, так как
функция
по модулю меньше единицы (смотри рисунки 3-6).
Полюса
эллиптической дробно-рациональной функции получим приравнивая
знаменатель (12) к нулю:
(14)
Так как
функция
по модулю меньше единицы (смотри рисунки 3-6), и
,
то все полюса эллиптической дробно-рациональной функции по модулю
больше единицы. На рисунке 19 показан пример модуля эллиптической
дробно-рациональной функции
при
в логарифмическом масштабе и отмечены значения
соответствующие нулям и полюсам
.
Рисунок
19: Эллиптическая дробно-рациональная функция с обозначенными нулями
и полюсами
Синим
обозначены кратные нули (3 штуки), серым показан не кратный нуль при
,
а зеленым показаны кратные полюса. Важно понять, что на рисунке 19
показана только половина
при
.
При отрицательных значениях
будет симметричной с еще тремя нулями и полюсами. Голубым цветом
показана переходная полоса между ближайшими к
нулем и полюсом
.
На
рисунках 20-23
показан модуль эллиптической дробно-рациональной функции
при
и различных значениях
в логарифмическом масштабе.
Рисунок
20: Эллиптическая дробно-рациональная функция
при
и
Рисунок
21: Эллиптическая дробно-рациональная функция
при
и
Рисунок
22: Эллиптическая дробно-рациональная функция
при
и
Рисунок
23: Эллиптическая дробно-рациональная функция
при
и
Из
рисунков 20-23
можно заметить, что при увеличении
переходная полоса сужается, а полюса стягиваются к
.
Кроме того минимумы
при
уменьшаются с увеличением
.
Так например при
эти минимумы более 10000, а при
уже менее 1000. Таким образом задавая коэффициент
можно ограничивать уровень
,
сужая тем самым переходную полосу. Это главное свойство, которое
позволяет использовать эллиптическую дробно-рациональную функцию при
аппроксимации частотных характеристик фильтра.
Необходимо
сделать замечание. Если в выражение (11)
подставить
,
то с учетом (4),
дробно-рациональная функция переходит в многочлен Чебышева:
(15)
Многочлены
Чебышева также можно получить из выражения (12) подставив
:
Все
вышеприведенные графики были построены при помощи численного рассчета
эллиптических функций на основе рекуррентных соотношений, которые мы
рассмотрим в данном разделе.
Полный
эллиптический интеграл может быть вычислен исходя из соотношения:
,
(17)
где
(18)
На каждом
следующем шаге коэффициент
меньше предыдущего. в результате рассчет оканчивается, когда разница
между
и
меньше заданного числа. Например в таблице ниже приведен пример
вычисления полного эллиптического интеграла
при
.
Рассчет был остановлен, когда
.
Видно, что за шесть итераций получили
сходимость к значению 2.437458.
Соотношения
(17) и (18) носят название преобразования Ландена.
Эллиптическая
функция
может быть рассчитана через следующее рекуррентное соотношение для
любого комплексного значения
:
(19)
Значение
- значение функции
на следующей итерации, получается из значений
полученных на предыдущих циклах. Обратите внимание что данное
рекуррентное соотношение идет как бы в обратную сторону.
Предварительно необходимо иметь рассчитанные коэффициенты
.
При инициализации соотношения (19) необходимо задать
,
тогда при
получим
Таким
образом мы рекуррентно из косинуса делаем эллиптическую функцию
.
Для рассчета необходимо также задать количество итераций
.
Рекуррентное соотношение (19) можно использовать и для
рассчета функции
,
начав рассчет с исходной точки
(из синуса будем делать эллиптическую
функцию
).
Пример итерационного рассчета эллиптических функций
и
при
и
приведен в таблице ниже. Рассчет велся на основе 11 итераций.
В первом столбце номера
циклов итерации, во втором заранее рассчитанные
для данных циклов итерации. Далее идут два столбца с рассчитанными
значениями
и .
После выполнения всех циклов на нулевой строке будет результат
рассчета соответствующих функций.
Ну и
наконец приведем еще одно рекуррентное соотношение для рассчета
обратных эллиптических функций (эллиптических аналогов
тригонометрических арксинусов и арккосинусов ).
Обратная
рассчитывается при при помощи соотношения:
(20)
Инициализация
цикла:
,
а конечный результат равен:
(21)
Обратная
функция
также рассчитывается при помощи соотношения (20),
однако результат равен:
(22)
Сначала мы
проходим цикл и рассчитываем
,
а после из
рассчитываем обратные эллиптические функции в соответствии с (21) и
(22).
Пример
рассчитаем
при
и
при
.
В обоих случаях параметр
.
Результат приведен в таблице:
В таблице жирным выделены значения
при
и
.
Тогда окончательно:
(23)
Сравнив
результаты с предыдущей таблицей, можно заметить, что
был получен при вычислении функции
при
,
а
при вычислении
при
.
Приведенные
рекуррентные соотношения справедливы для всех действительный и
комплексных значений аргумента
.
Также можно заметить, что при рассчете эллиптических функции 12
итераций вполне достаточно для достижения максимально-возможной
точность при 64-битном представлении числа с плавающей точкой (в си
тип double).
Выводы
Подведем
итог. В данной статье было введено понятие эллиптических интегралов и
эллиптических функций Якоби как результата обращения эллиптических
интегралов. Также было введено понятие эллиптической
дробно-рациональной функции, проанализированы ее нули и полюса и
показан ее внешний вид. В конце приведены рекуррентные соотношения на
основе преобразования Ландена для быстрого рассчета эллиптических
функций и интегралов.
Любые вопросы и пожелания вы можете оставить в
гостевой книге, на форуме,
или прислать по электронной почте admin@dsplib.ru
-
верхний предел интегрирования и
- параметр изменяется в пределах от 0 до 1. Параметр
получим:
будем иметь точки разрыва при
Графики функции
при различных значениях параметра
соответствует только одно значение
(при фиксированном
или как говорят мы таким образом обратили эллиптический интеграл.
Графики функции
.
носит название эллиптического синуса, а
- эллиптического косинуса. Обратим внимание на тот факт, что при
при
при
практически не отличаются от тригонометрических функций, а функция
,
а
,
аналогично при
,
а
.
и
показаны на рисунках 15 и 16 синим и красным цветами соотвественно. На рисунке 16 ось абсцисс представляет
собой
и графики
.
.
При
,
т.е. синус с периодом равным 4. На интервале от -4 до 4 укладывается
ровно 2 периода синуса. Аналогично при
на интервале от -4 до 4 укладывается ровно 2 периода эллиптического
синуса
.
равен четырем и не меняется с ростом
:
согласно (11) требуется вычисление обратной эллиптической функции
,
что не совсем удобно, поскольку
.
Поэтому используют следующую форму записи эллиптической
дробно-рациональной функции, где
:
при которых
:
- нечетное, то
и еще один ноль будет при
.
Обратим внимание, что все нули по модулю меньше единицы, так как
функция
,
то все полюса эллиптической дробно-рациональной функции по модулю
больше единицы. На рисунке 19 показан пример модуля эллиптической
дробно-рациональной функции
при
в логарифмическом масштабе и отмечены значения
.
При отрицательных значениях
нулем и полюсом
,
меньше предыдущего. в результате рассчет оканчивается, когда разница
между
меньше заданного числа. Например в таблице ниже приведен пример
вычисления полного эллиптического интеграла
.
Рассчет был остановлен, когда
.
:
- значение функции
на следующей итерации, получается из значений
полученных на предыдущих циклах. Обратите внимание что данное
рекуррентное соотношение идет как бы в обратную сторону.
Предварительно необходимо иметь рассчитанные коэффициенты
,
тогда при
получим
Таким
образом мы рекуррентно из косинуса делаем эллиптическую функцию
.
Рекуррентное соотношение (19) можно использовать и для
рассчета функции
(из синуса будем делать эллиптическую
функцию
).
Пример итерационного рассчета эллиптических функций
и
при
приведен в таблице ниже. Рассчет велся на основе 11 итераций.
рассчитывается при при помощи соотношения:
,
а конечный результат равен:
также рассчитывается при помощи соотношения (20),
однако результат равен:
,
а после из
и
.
В обоих случаях параметр
при
при