В предыдущей статье мы рассмотрели структуру и характеристики каскадных интегрально-гребенчатых фильтров Хогенауэра ( cascaded integral-comb filters). Были получены выражения для частотных характеристик CIC фильтров и показано, что CIC фильтры представляют собой фильтры нижних частот, причем первый нуль частотной характеристики зависит от задержки гребенчатого фильтра, а подавление в полосе заграждения зависит от порядка фильтра (т.е. количества каскадно включенных интеграторов и гребенчатых фильтров). В данной статье мы рассмотрим применение CIC фильтров для цифровой децимации и интерполяции сигналов.

Для начала вспомним, что частотная характеристика CIC фильтра порядка имеет следующий вид:

На рисунке 1 обозначены: —коэффициент усиления фильтра зависит от порядка фильтра и задержки гребенчатого фильтра

При правильном выборе порядка фильтра и задержки гребенчатого фильтра CIC фильтр будет представлять собой ФНЧ, подавляющий частоты выше

Рассмотрим применение CIC фильтра в задаче децимации сигналов. Пусть из исходного сигнала необходимо получить сигнал где — коэффициент децимации, т.е. содержит только каждый -ый отсчет исходного сигнала. Другими словами частота дискретизации сигнала понижается в раз. Мы знаем, что при прямом прореживании может проявится алиасинг (aliasing), или как его еще называют эффект наложения, при этом в децимированном сигнале могут появится мнимые гармоники. Для устранения алиасинга необходимо поставить ФНЧ с частотой среза рад/с, как это показано на рисунке 2.

На рисунке 2а показан процесс децимации в 2 раза без использования ФНЧ, в результате высокочастотные гармоники проявляются в децимированном сигнале в результате алиасинга. Использование ФНЧ 2б позволяет устранить гармоники до децимации и они не проявятся. Очевидно, что чем выше коэффициент подавления ФНЧ в полосе заграждения, тем меньше будет алиасинг.

После того как мы обосновали необходимость ФНЧ в дециматоре сигналов, рассмотрим теперь использование в качестве антиалиасингового ФНЧ CIC фильтра. Поскольку требуемая полоса среза антиалиасингового ФНЧ равна (смотри рисунок 2б), а первый нуль АЧХ CIC фильтра имеет на частоте , то для устранения алиасигна требуется CIC фильтр с задержкой гребенчатого фильтра . При этом выбором порядка фильтра можно обеспечить требумое подавление в полосе заграждения для устранения алиасинга при децимации. Например пусть требуется произвести децимацию сигнала с коэффициентом при подавлении алиасинга на 40 дБ. Поскольку , то задержка . Увеличение порядка CIC фильтра на единицу увеличивает коэффициент подавления в полосе заграждения на 11..13 дБ, поэтому для обеспечения заданного подавления алиасинга требуется фильтр 4 -го порядка (). Согласно (2) коэффициент усиления CIC фильтра равен

Максимальный уровень боковых лепестков равен:

Таким образом CIC фильтр рассчитан, его структурная схема представлена на рисунке 3.

Рассмотрим модификацию CIC фильтра дециматора. Для этого проанализируем каскадное соединение гребенчатого фильтра и дециматора, как это показано на рисунке 4

Разностное уравнение схемы представленной на рисунке 4 можно представить следующим образом:

Из выражения (7) можно заметить, что при расчете децимированного сигнала используются только -ые отсчеты исходного сдвинутые на друг относительно друга. Таким образом, можно записать:

Таким образом эквивалентная схема каскада представленного на рисунке 4 предсталена на рисунке 5.

Эквивалентный каскад удобнее тем, что задержка не зависит от коэффициента децимации , это позволяет реализовать перестраиваемый фильтр дециматор меняя только коэффициент .

Рассмотрим теперь использование CIC фильтров в задаче интерполяции сигналов. Фильтр интерполятор обеспечивает увеличение частоты дискретизации сигнала в раз, где — коэффициент интерполяции. Схема фильтра интерполятора и пояснение принципа его работы представлена на рисунке 8.

Исходный сигнал (на графиках рисунка 8 показанный черным) поступает на интерполятор, который увеличивает частоту дискретизации в раз, путем вставки нулей между отсчетами исходного сигнала (на верхнем рисунка 8 графике показаны красными точками). В результате получается сигнал дополненный нулями, который поступает на ФНЧ и который «поднимает нули». В частотной области данный процесс можно представить, как показано на рисунке 9.

Исходный сигнал имеет периодический спектр , с периодом равным частоте дискретизации . Один период спектра представлен на верхнем графике рисунка 9. После добавления нулей между отсчетами сигнала получаем увеличение частоты дискретизации в раз, в результате получаем спектр сигнала , который представляет собой раз повторенный спектр на интервале , что наглядно показано на среднем графике рисунка 9. Синим показана АЧХ ФНЧ с частотой среза , который устраняет периодичность спектра интерполированного сигнала, тем самым получаем интерполированный сигнал, показанный на нижнем графике рисунка 9. Требуемая нормированная частота среза ФНЧ равна . А поскольку первый нуль передаточной характеристики CIC фильтра равен , то при получим требуемый CIC фильтр. Порядок CIC фильтра выбирается исходя из требуемого подавления периодических составляющих спектра интерполированного сигнала. Допустим нам требуется реализовать фильтр интерполятор, увеличивающий частоту дискретизации в 4 раза () с подавлением периодических составляющих на 40 дБ. CIC фильтр с заданными характеристиками мы уже рассчитывали когда рассматривали дециматор и получили , а . Нам осталось только привести структуру данного фильтра интерполятора (рисунок 10).

Теперь рассмотрим модификацию фильтра интерполятора представленную на рисунке 11.

На верхней схеме рисунка 11 показана исходная структура фильтра интерполятора с CIC фильтром в качестве ФНЧ. При этом задержка гребенчатого фильтра зависит от коэффициента интерполяции. Поменяем местами каскады интеграторов и гребенчатых фильтров и получим среднюю схему рисунка 11. Поскольку и фильтр интегратор и гребенчатый фильтр — линейные, то поменяв их местами мы не изменяем характеристики фильтра. Теперь рассмотрим более подробно каскадное соединение интерполятора и гребенчатого фильтра (обозначены серым на рисунке 11). Интерполятор вставляет нули между отсчетами исходного сигнала (смотри рисунок 8), таким образом

Тогда в соответствии с разностным уравнением гребенчатого фильтра:

Из выражения (10) можно сделать вывод:

Тогда (11) с учетом того что можно записать:

Давайте разберемся: ничто иное как интерполированный , он же - сигнал на выходе гребенчатого фильтра с задержкой 2 при входном сигнале . Таким образом мы получили, что можем поменять местами интерполятор и гребенчатый фильтр (что показано на нижней схеме рисунка 11). В результате схема модифицированного интерполятора имеет вид представленный на рисунке 12.

Теперь рассмотрим пример применения CIC фильтров в задачах децимирования и интерполирования сигналов. Для этого сформируем сигнал из нескольких гармоник. Пусть частота дискретизации равна . Спектр такого сигнала показан на рисунке 13. Осуществим децимацию данного сигнала в 4 раза при помощи схемы представленной на рисунке 3. Получим продецимированный сигнал, чей спектр показан на рисунке 14.

Из рисунка 4 следует, что частота дискретизации продецимированного сигнала уменьшилась в 4 раза и стала равна 100 Гц. Кроме того ввиду сильной неравномерности АЧХ CIC фильтра (смотри рисунок 7) амплитуды гармоник сигнала довольно сильно искажаются. Для предотвращения искажения амплитуд гармоник прибегают к схеме дециматора с фильтром корректором (ФК) показанной на рисунке 15. Рассмотрим это подробнее. Если коэффициент децимации четный и больше двух (4, 8, 16 …), то можно осуществить децимацию в 2 этапа: сначала CIC дециматором с коэффициентом , а затем еще продецимировать в 2 раза, предварительно поставив фильтр корректор. На графиках рисунка 15 приведены пояснения. АЧХ CIC дециматора не равномерна (зеленый график), поэтому рассчитывается фильтр корректор с АЧХ , его назначение — выравнять АЧХ CIC дециматора, устранить алиасинг при децимации в 2 раза. АЧХ фильтра корректора показана красным на рисунке 15. Результирующий фильтр имеет равномерную АЧХ в полосе пропускания и высокое подавление в полосе заграждения (синий график рисунка 15). Таким образом мы можем скомпенсировать неравномерность АЧХ CIC фильтра. Необходимо заметить, поскольку сначала стоит очень эффективный CIC фильтр, то фильтр компенсатор работает на частотах в раз ниже, что практически снимает ограничения на его порядок, так как обработка ведется при тактовых частотах ниже чем частота дискретизации исходного сигнала. На рисунке 16 представлен спектр сигнала на выходе CIC дециматора при (красный график), а также АЧХ фильтра корректора (желтый график). На рисунке 17показан спектр сигнала на выходе фильтра корректора, а на рисунке 18 — он же, продецимированный в 2 раза, т.е. результирующий сигнал. Видно что использование фильтра корректора существенно улучшает качество децимации (нет таких завалов, как на рисунке 14).

Теперь рассмотрим использование CIC фильтров для интерполяции сигналов. Пусть исходный сигнал состоит из нескольких гармоник. Спектр исходного сигнала представлен на рисунке 19. Спектр интерполированного сигнала при использовании CIC фильтра 8-го порядка показан на рисунке 20.

Из рисунка 20 следует, что неравномерность АЧХ CIC фильтра при интерполяции как и в случае с децимацией приводит к искажениям амплитуд гармоник. В случае с CIC дециматором мы боролись с искажениями при помощи фильтра корректора (ФК). Аналогично можно поступить и при интерполяции. На рисунке 21 показано использование фильтра корректора при интерполяции сигнала. Показана схема использования фильтра корректора и 5 поясняющих графиков.

Давайте разбираться. Исходный сигнал имеет спектр показанный на первом графике. — частота дискретизации исходного сигнала. При интерполяции c коэффициентом частота дискретизации интерполированного сигнала будет равна . Если четно и больше 2, то можно осуществить сначала интерполяцию в 2 раза при помощи корректирующего фильтра. Спектр на выходе интерполятора в 2 раза, вставляющего по одному нулю между отсчетами сигнала показан на 2-ом графике. На нем же красным показана АЧХ фильтра корректора . Фильтр корректор подавляет периодические составляющие , и вносит предыскажения в сигнал, такие чтобы скомпенсировать «завалы» после CIC фильтра. Спектр сигнала на выходе фильтра корректора представлен на третьем графике. На четвертом графике показан спектр сигнала на выходе интерполятора с коэффициентом (в данном примере ), а также АЧХ CIC фильтра . И наконец на последнем графике показан спектр проинтерполированного сигнала . Таким образом фильтр корректор внося предыскажения компенсирует искажения вносимые CIC фильтром. Необходимо отметить, что фильтр корректор ставится на удвоенной тактовой частоте, что не требует высокой производительности вычислителя, а CIC фильтр работает уже на частоте в раз выше, но он не требует умножений и может быть реализован аппаратно.

На рисунке 22 показан пример спектра сигнала на выходе фильтра корректора, а на рисунке 23 - результат интерполяции с применением фильтра корректора. При этом видно, что использование фильтра корректора позволяет скомпенсировать завалы, вносимые CIC фильтром (рисунок 20).

В данной статье нам осталось рассмотреть лишь один вопрос, а именно расчет фильтра корректора. Характеристики фильтра корректора зависят от порядка CIC фильтра и коэффициента децимации и интерполяции. Если мы для CIC фильтра заданного порядка и заданного коэффициента децимации рассчитали фильтр корректор, то мы можем его использовать и при интерполяции сигналов с тем же коэффициентом и порядком CIC фильтра. Расчет фильтра корректора можно производить согласно схеме представленной на рисунке 24.

Зададим CIC фильтр и коэффициент децимации (интерполяции) . Сформируем CIC дециматор как это выделено на рисунке 24 жетлым цветом. На вход дециматора подадим одиночный импульс для расчета его отклика и возьмем дискретное преобразование Фурье отклика фильтра дециматора, получим частотную характеристику CIC фильтра , представленную на рисунке 25.

Также на рисунке 25 показана характеристика идеального ФНЧ . Теперь если мы поделим на АЧХ , то получим идеальную частотную характеристику фильтра корректора , показанную на рисунке 26.

Идеальную характеристику фильтра корректора можно трактовать как аппроксимацию амплитудно-частотной характеристики фильтра, тогда можно взять обратное преобразование Фурье (обратное быстрое преобразование Фурье ifft), и получим отсчеты импульсной характеристики фильтра корректора . Порядок фильтра корректора равен размеру выботки fft и ifft. При этом импульсная характеристика будет переставлена как это показано на рисунке 27.

Блок перестановки отсчетов меняет местами половины отсчетов импульсной характеристики как это показано на рисунке 27, тем самым получается переставленная характеристика . После этого импульсная характеристика умножается на весовое окно для улучшения подавления фильтра в полосе заграждения. На этом расчет фильтра корректора можно считать законченным. При расчете можно порекомендовать окно Блэкмана, как наиболее подходящее.

Мы рассмотрели использование CIC фильтров в задачах децимации и интерполяции сигналов. Привели структурные схемы CIC дециматоров и интерполяторов, а также их модификации. Показали что для четных коэффициентов децимации и интерполяции целесообразно использовать фильтры коррекции для выравнивания АЧХ фильтра дециматора и интерполятора. В конце была приведена схема расчета коэффициентов корректирующего фильтра.

Любые вопросы и пожелания вы можете оставить в гостевой книге, на форуме, или прислать по электронной почте admin@dsplib.ru

Наверх        Вернуться к списку статей